Parametric Surface, and Surface Integral

복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. 미적분학 포스트 전체 보기

드디어 스토스크 정리를 들어가는 건가 싶었는데, 아직 공부할 게 더 남았다 ㅋㅋ 바로 “곡면 적분”… 요 포스트에서는 최대한 개념 위주로 적었는데, 교재에 있는 예제들을 풀어서 익숙해질 것을 아주아주 권장한다..!

매개 곡면이란

2차원, 3차원에서 매개 곡선을 정의하던 것을 기억하는가? 매개 곡선의 방정식은 아래와 같은 모습이었다.

\[\mathbf{r}(u) = \left< x(u), y(u), z(u) \right>\]

매개 곡면은 2차원, 3차원에서 매개변수로 정의하는 곡선으로, 2개의 매개 변수가 필요하다.

\[\mathbf{r}(u, v) = \left< x(u, v), y(u, v), z(u, v) \right>\]

CLP Calculus Textbook

이때, $u$ 변수를 고정하거나 $v$ 변수를 고정하면 매개 곡션의 방정식이 된다. 매개 곡면 위에 이 곡선들을 표현하면, 그리드 같은 모습으로 나타나고, 이를 “그리드 곡선(Grid Curve)“라고 부른다.

Gilbert Strang - Calculus Vol 3.

지구본이 그리드 곡선으로 표현되는 대표적인 매개 곡면이다. 위도와 경도를 통해 구 형태의 곡면의 방정식을 그리는 것.

매개 곡면의 넓이

Gilbert Strang - Calculus Vol 3.

매개 변수 $(u, v)$의 영역에서의 미소 넓이 $dA = \Delta u \Delta v$가 매개 곡면 위에서는 $dS$로 표현된다. 그리고 이것은 아래와 같이 매개 변수에 대한 편미분에 대한 식으로 표현할 수 있다.

Gilbert Strang - Calculus Vol 3.

매개 곡면의 미소 넓이 $S_{ij}$는 아래의 식으로 근사할 수 있다.

\[S_{ij} \approx \left| (\mathbf{t}_u(P_{ij}) \cdot \Delta u) \times (\mathbf{t}_v(P_{ij}) \cdot \Delta v) \right|\]

이를 다시 잘 정리하면, 아래와 같다.

\[dS = \left| \mathbf{t}_u \times \mathbf{t}_u \right| \, du \, dv\]

이제 이걸 바탕으로 곡면의 넓이에 대한 식을 유도하면 아래와 같다.

\[\iint_{D} dS = \iint_{D} \left| \mathbf{t}_u \times \mathbf{t}_u \right| \, du \, dv\]

사실상 xy 평면에서 정의한 매개 평면에 대한 넓이를 유도했던 것과 완전 동일하다! [Multiple Integrals: Transformation in a plane] 포스트에서 이에 대한 내용을 다뤘다. 외적인 부분도 사실 야코비안(Jacobian)이다.

\[J = \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v)} = \left| \mathbf{t}_u \times \mathbf{t}_u \right|\]

매개 곡면 위 한 점에 대한 접평면의 방정식

Gilbert Strang - Calculus Vol 3.

매개 곡면을 이루는 한 점에 대한 $u$와 $v$에 대한 Tangent Vector를 생각해보자. 매개 곡면 위의 접평면은 요 Tangent Vector의 외적으로 구해지는 노멀 벡터 $\mathbf{N}$를 활용하면 된다. EzEz

곡면의 방향

곡면의 방향(Orientation)을 결정하는 것도 간단하지만 중요한 문제다. 곡면은 two-side surface이기 때문에 어느 방향을 양(+)의 방향으로 잡는지 기준이 필요하다. 만약 곡면이 매개 변수로 표현된다면, 우리는 $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$로 유도되는 노멀 벡터 $\mathbf{N}$의 방향을 양의 방향으로 설정해서 곡면의 방향을 유일하게 결정한다.

보통의 곡면들은 two-sided surface로 top/bottom side를 결정할 수 있다. 그러나 어떤 곡면들을 two-side로 나뉘지 않는 경우도 있는데, 대표적인 예가 뫼비우스의 띠이다.

APEX Calculus Textbook

이런 경우의 곡면은 무방향(non-orientable) 곡면으로 분류한다.

Gilbert Strang - Calculus Vol 3.

또, 닫힌 곡면의 경우는 곡면의 방향이 항상 바깥(outward) 방향으로 향한다.

$z = f(x, y)$ 꼴

3차원에서 $z = f(x, y)$로 표현되는 매개 곡면들은 $x$, $y$ 변수로 매개화 된 가장 기본적이고 자주 등장하는 매개 곡면의 패턴이다.

Gilbert Strang - Calculus Vol 3.

이 경우에 평면의 넓이에 대한 식은 아래와 같이 적을 수 있다.

\[\begin{aligned} \mathbf{r}_x &= (1, 0, f_x) \\ \mathbf{r}_y &= (0, 1, f_y) \end{aligned}\] \[\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y = (- f_x, - f_y, 1)\]

위의 식에서 알 수 있는 건 $z = f(x, y)$의 꼴에선 곡면이 항상 $+z$ 방향을 top-side로 갖는다.

매개 곡면 위에서의 적분

곡면 적분(Surface Integral)은 선적분의 개념을 확장한 버전이다. 선적분과 마찬가지로 적분은 스칼라장에서의 적분과 벡터장에서의 적분, 두 가지 케이스로 나뉜다.

스칼라장에서

\[\iint_{D} f(x, y, z) \, dS = \iint_{D} f(\mathbf{r}(u, v)) \left| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_u \right| \, du \, dv\]

앞에서 본 곡면 넓이에 대한 적분에서 $f(x, y, z)$가 가중치 형태로 들어간 적분이다. EzEz

벡터장에서

Gilbert Strang - Calculus Vol 3.

벡터장에서의 곡면 적분은 그 곡면을 뚫고 나가는 유제들의 흐름을 모은 값과 같다. 적분으로 표현하면 아래와 같다.

\[\iint_{D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_{D} \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS\]

어떻게 보면, 벡터장에서의 선적분과 비슷한 식이 만들어졌다. 선적분에서는 아래와 같은 형태였다. (아래식에서는 길이의 미소량 $ds$로 표현된 것이 다르다.)

[그린 정리의 노멀폼]

\[\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, ds\]

즉, “곡선” $ds$를 뚫고 나가는 유체들의 흐름을 계산했던 걸, “곡면” $dS$로 확장시킨 것.