Hermitian Matrix, and Skew-symmetric Matrix

복수전공하고 있는 수학과의 학부 졸업시험을 위해 2024년 10월부터 선형대수를 다시 공부하고 있습니다. (현재진행형… 🏃‍♂️‍➡️) 선형대수에 대한 전체 포스트 목록은 “Linear Algebra“에서 확인하실 수 있습니다!

들어가며

지난 포스트에서 이차 형식에 대해 살펴보았습니다 ㅎㅎ 이번 포스트도 이차 형식에 대해 살펴보는데요! 이차형식에서 보이는 2가지 특수 케이스를 살펴봅니다!

Does Complex Matrix

지금까지는 이차형식 $Q(\mathbf{x})$를 실수 행렬에 대해 정의하고 살펴보았습니다. 이것을 “복소 행렬”로 확장하고, 여기 위에서 Positive Definite를 정의 합시다!

Positive Definite, when for $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ and for all non-zero $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$,

\[Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} > 0\]

저는 처음에 개념을 이해할 때, 잘못 이해해서 입력 벡터도 복소 벡터인 줄 알았습니다 ㅠㅠ 입력 벡터는 여전히 실수 벡터 입니다!

어떤 복소 행렬이 Positive Definite를 만족할까요? 실수 영역에서 Positive Definite 였던 행렬들은 복소 영역에서도 Positive Definite 일까요?

Hermitian Matrix

복소 행렬 $A$이 Positive Definite를 만족하기 위해선 아래 조건이 필요 합니다.

• 행렬 $A$가 정사각 행렬
• 행렬 $A$가 Hermitian Matrix

이때, 에르미트 행렬은 아래와 같이 정의하는 복소 행렬 입니다.

\[A = A^{\ast}\]

이것은 “켤레 전치”가 같은 행렬을 말합니다! 예시를 들어보면,

1. 실수 대칭 행렬은 자동으로 에르미트 행렬이 됩니다!

\[A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\]

2. 켤레 전치가 같아야 합니다.

\[A = \begin{bmatrix} 2 & 1 + i \\ 1 - i & 5 \end{bmatrix}\]

When inputs complex vector

행렬 $A$가 Positive Definite는 입력이 실수 벡터인 경우에 정의하는 것 입니다. 입력 벡터가 복소 벡터라면, 이차 형식의 값이 음수가 될 수도 있습니다!

예를 들어, 이런 Positive Definite 행렬 $A$가 있을 때,

\[A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right]\]

이 행렬의 이차 형식은 모든 실수 벡터에 대해 $Q(\mathbf{x}) > 0$을 만족하지만, 복소 벡터의 경우

\[Q([i, 0]^T) = [i, 0] \left[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i \\ 0 \\ \end{matrix}\right] = i \cdot 2 \cdot i = -2\]

음수가 나옵니다. 또는 복소 벡터에서는 복소수가 나옵니다.

그래서 Positive Definite는 행렬 $A$는 복소 행렬일 수도 있지만, 오직 실수 벡터를 입력으로 받는 경우를 기준으로 정의합니다!

Skew-symmetric Matrix

이 행렬은 행렬 $A$가 아래 조건을 만족합니다.

\[A^T = - A\]

뭔가 신기하죠?? 그런데 행렬이 이것을 만족하기 위해서는 모든 대각 성분이 0이 되어야 합니다! 왜냐하면, 대각 성분은 전치 되어도 그 자리에 남아 있으니까요!

\[A = \left[\begin{matrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \\ \end{matrix}\right]\]

이런 행렬을 Skew-symmetric, “반대칭 행렬”이라고 합니다.

행렬 $A$가 반대칭 행렬이라면, 이차형식 $Q(\mathbf{x})$의 값이 항상 0이 됩니다!

\[\begin{aligned} Q(\mathbf{x}) &= \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \\ &= \mathbf{x}^T (-A^T) \mathbf{x} \\ &= \mathbf{x}^T (-A) \mathbf{x} \quad (\text{symmetric})\\ &= - Q(x) \end{aligned}\]

$Q(\mathbf{x}) = -Q(\mathbf{x})$를 만족하려면, 이차형식의 값이 항상 0이 되어야 합니다.

이차 형식의 결과가 항상 0이 되어버리기 때문에, Skew-symmetric 행렬로 이차 형식을 해석하지는 않는다고 합니다!

반대칭 행렬은 “회전 변환“을 수행합니다! 나머지 내용은 To be continued…