Consumer’s Problem

졸업을 위해 마지막 학기에 “미시경제학” 수업을 듣게 되었습니다. 경제학원론 수업을 재밌게 들어서 경제 쪽이랑 궁합이 좋은 줄 알고 신청 했는데, 웬걸… 이 과목은 사실상 수학과 과목 이었습니다.. ㅋㅋ 그래도 수학과 복수전공도 하고 있으니, 이 수업도 힘내서 잘 들어봅시다! 전체 포스트는 “미시경제학” 카테고리에서 확인하실 수 있습니다.

Consumer’s Problem

합리적인(rational) 소비자는 자신의 선호가 고정(fixed) 되어 있다고 합니다. 즉, 어떤 번들이 더 좋고 더 좋은지를 항상 일관성 있게 판단하고 행동 합니다.

이 소비자는 예산의 제약 아래에서 자신의 선호에 따라 가장 좋은 번들을 선택합니다. 이때, 가장 좋은 번들(best bundle)은 “가장 높은 효용을 주는 번들“을 말합니다! 그리고 이 베스트 번들을 고르는 문제를 “Consumer’s Problem“라고 부릅니다.

\[\underset{(x_1, x_2) \in B}{\text{argmax}} \; u(x_1, x_2)\]

Solution Existence

소비자 문제의 해가 존재하기 위해서는 아래의 성질들이 만족해야 합니다. 각 성질에 대한 증명도 필요하지만… 일단 스킵 하겠습니다!

Continuous

If the preference relation is “continuous”,
then the consumer’s problem has a solution

선호가 연속성을 가진다면, 즉 미소 변화에 대해 소비자의 선호가 급격히 바뀌는게 아니라면, 예산 집합 안에서 최적의 소비 번들에 대한 Solution이 반드시 존재합니다. 이것은 해의 존재성을 보장하는 조건 입니다.

Strictly Convex

If the preference relation is “strictly convex”,
then the consumer’s problem has at most one solution.

\[\begin{gather*} \lambda a + (1 - \lambda) b \, {\color{red} \succ} \, a \\ \text{and} \\ \lambda a + (1 - \lambda) b \, {\color{red} \succ} \, b \end{gather*}\]

번들 선호가 “엄격하게 볼록”하다는 성질은 소비자가 선형 결합으로 만든 “혼합된 번들”을 더 선호한다는 의미 입니다.

번들 선호가 convexity 성질을 가진다면, Consumer’s Problem의 해가 유일하게 존재한다는 것을 보장 합니다.

Monotone

If the preference relation is “monotone”,
then any solution of the consumer’s problem is on the budget line.

번들 선호가 “단조적”이라는 건, 더 많이 소비할수록 좋다는 것을 말합니다. 다르게 표현하면 재화가 “정상재(normal goods)”라는 것을 말합니다.

이때는 소비자가 모든 예산을 다 써버리는 것이 효용을 가장 높이는 방법이 됩니다! 그래서 최적의 소비는 “Budget Line 위에” 존재합니다.

Examples

Complementary Goods

두 재화가 “보완재”라면, 두 재화가 같은 수량 만큼 있어야 가치가 있습니다. 그래서, 효용 함수는 $u(x) = \min(x_1, x_2)$로 표현 됩니다.

그리고 보완재에서의 선호는 “단조성(monotone)”을 갖습니다. 더 많이 소비할 수록 이득입니다. 따라서, CP의 해는 버짓 라인 위에 존재합니다.

\[p_1 x_1 + p_2 x_2 = w\]

그리고, 두 재화가 정확히 같은 수량만큼 존재해야 하므로, $x_1 = x_2$가 성립합니다. 따라서,

\[p_1 x^{\ast} + p_2 x^{\ast} = w\]

따라서, 솔루션은

\[x^{\ast} = \left(\frac{w}{p_1 + p_2}, \frac{w}{p_1 + p_2}\right)\]

수업 자료에서는 보완재 상황이 유일해르 갖지만, convex 성질만 만족하지, strictly convex 조건을 만족하는 것은 아니라고 합니다. (뭔가 convex 조건만 만족해도 유일해가 존재할 수 있는 것 같습니다. strictly convex라면, 반드시 유일해이고요!)

Substitutable Goods

이 소비자는 두 재화의 총합이 최대가 되는 것을 최고로 생각합니다. 그래서 이 소비자의 효용 함수는 $u(x) = x_1 + x_2$로 표현 됩니다.

• $p_1 < p_2$
  • 소비자는 수량을 극대화 하기 위해 재화1만 구매합니다.
  • $x^{\ast} = (w/p_1, 0)$
• $p_1 > p_2$
  • 이번에는 재화2만 구매합니다.
    • $x^{\ast} = (0, w/p_2)$
• $p_1 = p_2$
  • 버짓 라인 위에 있다면, 재화1과 재화2를 어떤 조합으로 구매해도 상관 없습니다.
  • 왜냐하면 가격이 같기 때문에, $x_1 + x_2 = w/p$로 고정 되기 때문입니다!
  • 버짓 라인 위의 모든 점이 솔루션이 됩니다.
  • 다중해가 발생하는 대표적인 예시 입니다!

맺음말

저번 포스트부터 새로운 용어가 정말 많이 나오는 포스트 였지만, 그렇게 어려운 것들은 아니었습니다.

• Budget Set $B$
• Demand Function $x(B)$
• Consumer’s Problem

이번 포스트에서 가장 중요한 것은 마지막에 있던 “Consumer’s Problem” 입니다! 앞으로 이어지는 내용은 계속해서 소비자의 최적 선택을 어떻게 찾을 것인지, 언제 소비자의 최적 선택이 되는지를 살펴봅니다!