Gaussian Integer

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

Gaussian Integer는 “Euclidean Domain”의 일종이다. Euclidean Domain에 대한 포스트는 이곳에서 확인할 수 있다.

1. Gaussian Integers
2. Multiplicative Norms

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Gaussian Integers

Definition.

A Gaussian Integer is a complex number $a + bi$, where $a, b \in \mathbb{Z}$.

For Gaussian integer $\alpha = a + bi$, the norm $N(\alpha) = a^2 + b^2$.

위의 Gaussian Integer를 모두 모은 집합이 바로 $\mathbb{Z}[i] \subset \mathbb{C}$가 된다.

우리의 목표는 “Gaussian Integers $\mathbb{Z}[i]$가 Euclidean Domain이 됨”을 보이는 것이다!

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Lemma 47.2

On $\mathbb{Z}[i]$, the following properties of Norm holds.

1. $N(\alpha) \ge 0$
2. $N(\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$
3. $N(\alpha \beta) = N(\alpha)N(\beta)$

즉, $N$은 semi-group homomoprhism이다.

Gaussian Norm $N$을 잘 생각해보면, 너무 당연한 명제들이다.

Lemma 47.3

$Z[i]$ is an Integral Domain.

proof.

$\mathbb{Z}[i]$는 commutative ring with unity이다.

$\mathbb{Z}[i]$가 Integral Domain임을 보이기 위해 zero-divisor가 존재하지 않음을 보여야 한다.

“Lemma 47.2”에 의해

if $\alpha \beta = 0$, then

\[N(\alpha)N(\beta) = N(\alpha \beta) = N(0) = 0\]

따라서 $\alpha \beta = 0$은 $N(\alpha) = 0$ 또는 $N(\beta) = 0$을 의미하한다.

다시 “Lemma 47.2”에 의해 위의 결과는 $\alpha = 0$ 또는 $\beta = 0$을 의미한다.

즉, zero-divisor가 존재하지 않으므로 $\mathbb{Z}[i]$는 Integral Domain이다.

Theorem 47.4

The function $\nu$ given by $\nu(\alpha) = N(\alpha)$ for non-zero $\alpha \in \mathbb{Z}[i]$ is an Euclidean norm on $\mathbb{Z}[i]$.

Thus $\mathbb{Z}[i]$ is an Euclidean Domain.

proof.

Note that for $\beta = b_1 + b_2 i \ne 0$, $N(\beta) = {b_1}^2 + {b_2}^2$, so $N(\beta) \ge 1$.

Then for all non-zero $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i]$, $N(\alpha) \le N(\alpha)N(\beta) = N(\alpha \beta)$.

This proves Condition 2 for a Euclidean norm.

이제 Euclidean norm의 첫번쨰 조건인 “division algorithm”에 대해 증명해야 한다.

Let $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i]$ with $\alpha = a_1 + a_2 i$, $\beta = b_1 + b_2 i \ne 0$.

We must find $\sigma, \rho \in \mathbb{Z}[i]$ s.t. $\alpha = \beta \sigma \rho$, where either $\rho = 0$ or $N(\rho) < N(\beta)$.

Let $\alpha / \beta = r + si$ for $r, s \in \mathbb{Q}$. (by $\mathbb{C}$ 아래 연산)

Let $n, m \in \mathbb{Z}$ as close as possible to the rational numbers $r$ and $s$.

Let $\sigma = n + m i$ and $\rho = \alpha - \beta \sigma$.

If $\rho = 0$, we are done.

Otherwise, by construction of $\sigma$, we see that $\left| r - n \right| \le \frac{1}{2}$ and $\left| s - m \right| \le \frac{1}{2}$

Therefore,

\[\begin{aligned} N \left( \frac{\alpha}{\beta} - \sigma \right) &= N \left( (r+si) - (n+mi) \right) \\ &= N \left( (r - n) - (s - m)i \right) \le \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \end{aligned}\]

Thus, we obtain

\[\begin{aligned} N(\rho) &= N(\alpha - \beta \sigma) = N\left( \beta \left( \frac{\alpha}{\beta} - \sigma \right) \right) \\ &= N(\beta)N\left( \frac{\alpha}{\beta} - \sigma \right) \le N(\beta) \frac{1}{2} < N(\beta) \end{aligned}\]

so, $N(\rho) < N(\beta)$.

Therefore, Gaussian norm $N$ is an Euclidean norm. $\blacksquare$

”$\mathcal{U}(\mathbb{Z}[i]) = \{ \pm 1, \pm i\}$”

당연히 그렇겠지만, $\mathbb{Z}[i]$는 $\mathbb{Z}$와는 다른 모습이 발견된다.

예를 들어 $\mathbb{Z}$에선 5가 irreducible인 반면,

$\mathbb{Z}[i]$에선 5가 $5 = (1 + 2i)(1 - 2i)$로 분해가능하다!

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Multiplicative Norms

이번 섹션에서는 세심하게 정의된 norm은 Integral Domain $D$의 arithmetic structure를 결정하는 데에 많은 도움을 준다는 사실을 살펴볼 것이다.

Algebraic Number Theory에선 이렇게 norm 을 통해 대수적인 구조를 파악하는 것이 빈번하다.

Definition.

Let $D$ be an integral domain.

A multiplicative norm $N$ on $D$ is a function mapping $D$ into the integers $\mathbb{Z}$ such that the following conditions are satisfied:

1. $N(\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$
2. $N(\alpha \beta) = N(\alpha) N(\beta)$ for all $\alpha, \beta \in D$

Theorem 47.7

If $D$ is an integral domain with a multiplicative norm $N$,

then

1. $N(1) = 1$
2. $\left| N(u) \right| = 1$ for every unit $u \in D$.
3. If Every $\alpha$ s.t. $\left| N(\alpha) \right| = 1$ is a unit in $D$,
   then an elt $\pi$ in $D$ with $\left| N(\pi) \right| = p$ for a prime $p$ is an irreducible of $D$. 🔥

proof.

Let $D$ be an integral domain with a multiplicative norm $N$.

(1번 명제)

\[N(1) = N(1 \cdot 1) = N(1) N(1)\]

show that $N(1) = 1$

(2번 명제)

If $u$ is a unit in $D$, then

\[1 = N(1) = N(u u^{-1}) = N(u) N(u^{-1})\]

Since $N(u)$ is an integer, this implies that $\left| N(u) \right| = 1$.

🔥 3번 명제 🔥

Supp. that the units of $D$ are exactly the elements of norm $\pm 1$.

For $\pi \in D$ with $\left| N(\pi) \right| = p$ where $p$ is a prime.

Then if $\pi = \alpha \beta$, we have

\[p = \left| N(\pi) \right| = \left| N(\alpha) N(\beta) \right|\]

so either $\left| N(\alpha) \right| = 1$ or $\left| N(\beta) \right| = 1$.

By our assumption, this means $\alpha$ or $\beta$ is a unit.

Thus $\pi$ is an irreducible of $D$.

Examples.

In Gaussian Integers $\mathbb{Z}[i]$, $N(\alpha)$ is a multiplicative norm!

$1+2i$ and $1-2i$ are irreducibles.

반대로 $5$의 경우 $N(5) = 25$이기 때문에 reducible이 된다.

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Example. Integral Domain, but not UFD 🔥

Let $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \{ a+ib\sqrt{5} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}$.

As a subset of the complex numbers $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ is an integral domain.

Define $N$ on $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ by

\[N(a + b\sqrt{-5}) = a^2 + 5 b^2\]

Clearly, $N(\alpha) = 0$ $\iff$ $\alpha = 0$.

Also $N(\alpha \beta) = N(\alpha) N(\beta)$.

이번에는 multiplicative norm의 특징에 비추어 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$의 unit를 생각해보자.

$N(\alpha) = a^2 + 5 b^2 = 1$이 되는 $\alpha$는 오직 $b=0$이고 $a = \pm 1$이어야 한다.

따라서 $\mathcal{U}(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]) = \{ \pm 1\}$이다.

  이제 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$의 원소인 21에 대한 factorization을 살펴보자.

21은 두 가지 factorization을 가질 수 있다.

• $21 = (3)(7)$
• $21 = (1+2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{-5})$

이제 $3$, $7$, $1+2\sqrt{-5}$, $1-2\sqrt{-5}$가 irreducible임만 보인다면, $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$가 UFD가 아님을 보일 수 있다.

($3$의 경우)

Supp. that $3 = \alpha \beta$, then

\[9 = N(3) = N(\alpha) N(\beta)\]

$N(\alpha)$가 가질 수 있는 값은 1 또는 3 또는 9이다.

• If $N(\alpha) = 1$, then $\alpha$ is a unit.
• $N(\alpha) = a^2 + 5 b^2$이므로 $N(\alpha) = 3$를 만족시킬 수 있는 $\alpha$는 존재하지 않는다.
• If $N(\alpha) = 9$, $\beta$ is a unit.

따라서 $3$은 irreducible이다.

비슷한 방법으로 $7$가 irreducible임도 보일 수 있다.

($1 + 2\sqrt{-5}$의 경우)

If $1 + 2\sqrt{-5} = \gamma \delta$, we have

\[21 = N(1 + 2\sqrt{-5}) = N(\gamma)N(\delta)\]

따라서 $N(\gamma)$는 1, 3, 7, 또는 21의 값을 갖는다.

앞에서 3과 7을 norm으로 갖는 수는 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$에 존재하지 않음을 확인했다.

따라서 $N(\gamma)$는 1 또는 21인데, 이것은 “either $\gamma$ or $\delta$ is a unit”라는 결과를 유도한다.

따라서 $1 + 2\sqrt{-5}$는 irreducible이다.

같은 방법으로 $1 - 2\sqrt{-5}$가 irreducible임도 보일 수 있다.

따라서 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}$는 Integral Domain이지만, Unique Factorization은 가지지 않는다! $\blacksquare$

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앞에서한 논의를 활용하면, “페르마의 두 제곱수 정리” (Fermat’s $p = a^2 + b^2$ Theorem)을 증명할 수 있다!!

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