Discrete Probability Distributions - 2

“확률과 통계(MATH230)” 수업에서 배운 것과 공부한 것을 정리한 포스트입니다. 전체 포스트는 Probability and Statistics에서 확인하실 수 있습니다 🎲

이전 포스트에서 이산 분포의 기본이 되는 <Bernoulli Distribution>, <Binomial Distribution> 등등을 살펴봤다. 이번 포스트에서는 좀더 재미있는 분포들이 등장한다!

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HyperGeometric Distribution

<HyperGeometric Distribution>은 앞에서 살펴본 <Binomial Distribution>과 상황이 정말 비슷하다. 하지만, Sampling 방식에서 <Binomial Distribution>은 각 trial이 독립적이고, with replacement인 반면에 <HyperGeometric Distribution>은 각 trial이 dependent하고 w/o replacement로 진행된다!

w/o replacement 방식으로 샘플링하는 것의 예에는 <acceptance sampling>이 있다. 물품을 품질을 검수하는 이 작업선 테스팅 후에 물품이 파괴되거나 더이상 쓰지 못하게 될 수 있기 때문에 replacement를 할 수가 없다. 그렇기 때문에 w/o replacement를 바탕으로 하는 샘플링에 대한 논의는 꼭 필요하다.

Definition. HyperGeometric Distribution

성공으로 표시된 $K$개의 샘플과 실패로 표시된 $N-K$개의 샘플이 있는 $N$개의 샘플에서, 무작위로 $n$개의 샘플을 w/o replacement로 뽑는다고 하자. 이것을 <HyperGeometric Experiment>라고 한다. 이때, RV $X$는 <HyperGeometric Experiment>에서 성공을 뽑은 횟수이다. 이 RV $X$를 <HyperGeometric RV>라고 한다.

<HyperGeometric RV> $X$의 pmf는 아래와 같이 정의된다.

\[h(x; N, K, n) = \frac{\binom{K}{x} \binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}} \quad \text{where} \quad 0 \le x \le K \quad \text{and} \quad 0 \le n-x \le N-K\]

위와 같은 pmf를 <HyperGeometric Distribution>라고 하며, $X \sim \text{HyperGeo}(N, K, n)$로 표기한다.

이때, <HyperGeometric Distribution>에 대한 조건식을 다듬으면 아래와 같다.

\[\begin{aligned} \quad 0 \le x \le K \quad &\text{and} \quad 0 \le n-x \le N-K \\ \quad 0 \le x \le K \quad &\text{and} \quad -n \le -x \le N-K-n \\ \quad 0 \le x \le K \quad &\text{and} \quad K+n - N \le x \le n \\ \end{aligned}\] \[\therefore \max \{ 0, n-(N-K) \} \le x \le \min \{ K, n \}\]

Theorem.

Let $X \sim \text{HyperGeo}(N, K, n)$, then

• $\displaystyle E[X] = n \frac{K}{N}$
• $\displaystyle \text{Var}(X) = n \frac{K}{N}\left( 1 - \frac{K}{N} \right) \cdot \frac{N-n}{N-1}$

지금 당장 <HyperGeometric Distribution>에 대한 평균과 분산에 대한 정리를 증명하지는 않을 것이다. 그러나 위의 식을 좀더 직관적으로 이해해보면, <Binomial Distribution>의 경우와 정말 유사함을 발견할 수 있다.

HyperGeo의 $\dfrac{K}{N}$를 Binomial의 $p$로 해석한다면, Binomial의 평균인 $np$와 HpyerGeom의 $n\dfrac{K}{N}$는 그 형태가 꽤 비슷하다. 분산의 경우에도 HyperGeo의 경우 $n \dfrac{K}{N}\left( 1 - \dfrac{K}{N} \right) \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$로 Binomial의 경우처럼 $npq$의 형태가 보이지만, 마지막 부분에 $\dfrac{N-n}{N-1}$에 대한 텀이 붙는다.

Theorem.

특정 경우에서는 HyperGeo를 Binomial로 취급할 수도 있다.

If $N \gg n$ and $K \gg n$, then

\[h(x; N, K, n) \approx \text{BIN}(x; n, \frac{K}{N})\]

위의 정리와 마찬가지로 증명은 뒤에서 따로 제시하겠다.

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Multivariate HyperGeometric Distribution

<Multivariate HyperGeometric Distribution>은 HyperGeo에서 가능한 outcome이 2개에서 여러 개로 늘어난 상황이다. Multivariate HyperGeo의 pmf는 아래와 같이 기술할 수 있다.

Definition. Mutlivariate HyperGeometric Distribution

If $N$ items can be partitioned into the $k$ cells $A_1, A_2, \dots, A_k$ with $a_1, a_2, \dots, a_k$ elements, respectively, then the probability distribution of the RVs $X_1, X_2, \dots, X_k$, representing the number of elements selected from $A_1, A_2, \dots, A_k$ in a random sample of size $n$, is

\[f(x_1, \dots, x_k\; ; \; a_1, \dots, a_k, N, n) = \frac{\binom{a_1}{x_1} \cdots \binom{a_k}{x_k}}{\binom{N}{n}}\]

with $\displaystyle \sum^k_{i=1} x_i = n$ and $\displaystyle \sum^k_{i=1} a_i = N$.

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Geometric Distribution

<Geometric Distribution>의 경우는 앞에서 제시된 Distribution들과 조금 상황이 다르다.

Definition. Geometric Distribution

$p$-coin을 독립적으로 tossing 하는 상황을 생각해보자. 이때, 우리는 처음으로 Head가 나올 때까지 $p$-coin을 던질 것이다. 이때, 첫 Head가 나오기까지 시도한 Tossing 횟수를 Random Variable $X$라고 하면, 이것의 pmf는 아래와 같다.

\[g(x; p) = pq^{x-1}, \quad x = 1, 2, 3, \dots\]

이 RV $X$를 <Geometric RV>라고 하며, $X \sim \text{Geo}(p)$로 표기한다.

여기서 왜 <Geometric Distribution>에 “Geometric”이라는 이름이 붙었는지 궁금증이 생긴다. 그 이유는 Geo에서 확률의 合이 1이 됨을 확인하면서 알 수 있다.

\[\begin{aligned} \sum_x g(x) &= \sum^{\infty}_x p \dot q^{x-1}\\ &= p \; (1 + q + q^2 + \cdots + q^n + \cdots ) \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} p \; \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{p}{1-q} = \frac{p}{p} = 1 \end{aligned}\]

위와 같이 확률 合이 1이 됨을 보이는 과정에서 “Geometric Series”가 등장하기 때문에 “Geometric” Distribution이라는 이름이 붙었다!!

Property. Memeryless property 🔥

<Geometric Distribution>은 <Memoryless Property>라는 재미있는 성질을 가지고 있다. 수식으로 기술하면 아래와 같다.

\[P(X = x+k \mid x > k) = P(X = x)\]

또는

\[P(X > k) = q^{k}\]

두번째 식을 잘 사용해보면, 첫번째 식을 쉽게 유도할 수 있다 😊

Theorem.

Let $X \sim \text{Geo}(p)$, then

• $\displaystyle E[X] = \frac{1}{p}$
• $\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$

위의 식에 대한 증명은 간단하다. 지금 유도해보자.

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Proof.

1. $E[X]$

\[\begin{aligned} E[X] &= \sum k f(k) = p \sum^{\infty}_{k=1} k q^{k-1} \\ &= p \; (1 + 2q + 3q^2 + \cdots ) \\ \end{aligned}\]

(1) 멱급수로 유도

\[\begin{aligned} S &= (1 + 2q + 3q^2 + \cdots ) \\ qS &= (0 + q + 2q^2 + \cdots) \\ (1-q)S &= 1 \\ (1-q)S &= \frac{1}{1-q} \\ S &= \frac{1}{(1-q)^2} \\ \end{aligned}\]

(2) 미분으로 유도

\[\begin{aligned} S &= (1 + 2q + 3q^2 + \cdots ) \\ &= (1 + q + q^2 + \cdots) ' \\ &= \left( \frac{1}{1-q} \right)' \\ &= \frac{1}{(1-q)^2} \end{aligned}\]

따라서, $\displaystyle E[X] = p S = p \frac{1}{(1-q)^2} = \frac{p}{p^2} = \frac{1}{p}$

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2. $\text{Var}(X)$

$\text{Var}(X)$를 구하기 위해 $E[X^2]$를 구해야 한다. 이때, 계산의 편의를 위해 $E[X^2]$ 대신 $E[X(X-1)]$를 구하는 테크닉을 사용하자.

\[\begin{aligned} E[X(X-1)] &= p \sum k(k-1)q^{k-1} \\ &= pq \sum^{\infty}_{i=2} k(k-1) q^{k-2} \\ &= pq \left( \frac{1}{(1-q)^2} \right)' \\ &= pq \left( \frac{2}{(1-q)^3}\right) \\ &= pq \frac{2}{p^3} = \frac{2q}{p^2} \end{aligned}\]

이제 위의 결과를 이용해서 잘 정리하면,

\[\begin{aligned} \text{Var}(X) &= E[X(X-1)] + E[X] - \left(E[X]\right)^2 \\ &= \frac{2q}{p^2} + \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2} \\ &= \frac{1-p}{p^2} \end{aligned}\]

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Negative Binomial Distribution

이번에는 <Geometric Distribution>과 비슷하지만, $k$개의 Head가 나올 때까지 동전을 던진다. 이때 Tossing 횟수를 Random Variable $X$라고 하면, 이것은 <Negative Binomial Distribution>을 따른다.

Definition. Negative Binomial Distribution

$p$-coin을 independently tossing 한다고 해보자. 이때 $k$개 Head가 나올 때까지 동전을 던진 횟수를 RV $X$로 잡자. 그러면 이것의 pmf는 아래와 같다.

\[b^{*}(x; k,p) =\binom{x-1}{k-1} p^k q^{x-k} \quad \text{for} \quad x = k, k+1, \dots\]

이것의 유도는 $(x-1)$ 시도까지 $(k-1)$번 만큼의 Head가 나와야 한다고 생각하면, <Binomial Distribution>에서 $(x-1)$ 시도, $(k-1)$만큼 성공한 것과 같다.

\[\binom{x-1}{k-1} p^{k-1} q^{x-k}\]

마지막에는 반드시 Head가 나와야 하므로 위의 식에 $p$를 곱해주면, <Negative Binomial Distribution>을 얻게 된다!

Negative Binomial은 서로 독립인 $n$개의 Geometric RV라고 생각해볼 수도 있다. 그래서 NegBIN $Y$는 Geo $X_i$에 대해

\[Y = X_1 + \cdots X_n\]

인 셈이다.

그런데 왜 “Negative” Binomial이라는 이름이 붙었을까? 그것은 <Geometric Distribution> 때와 마찬가지로 확률의 合이 1이 됨을 보이는 과정에서 유래한다.

\[\begin{aligned} \sum f(x) &= \sum^{\infty}_{x=k} \binom{x-1}{k-1} p^k q^{x-k} \\ &= p^k \sum^{\infty}_{x=k} \binom{x-1}{k-1} q^{x-k} \\ \end{aligned}\]

여기에서 $y = x - k$로 치환하자. 이때, $y$는 $k$번째 성공을 얻기 위해 걸린 실패 횟수 $Y$이다. 표기의 편의를 위해 지금부터는 멱급수 부분만 표현하겠다.

\[\sum^{\infty}_{x=k} \binom{x-1}{k-1} q^{x-k} = \sum^{\infty}_{y=0} \binom{y + k - 1}{k-1} q^{y}\]

이때, 조합(combination)의 성질에 의해 아래가 성립한다.

\[\binom{y + k - 1}{k-1} = \binom{y + k - 1}{y}\]

따라서,

\[\sum^{\infty}_{y=0} \binom{x-1}{k-1} q^{x-k} = \sum^{\infty}_{y=0} \binom{k + y - 1}{y} q^{y}\]

여기에 <Negative Binomial Theorem>을 적용해보자.

\[(1 + x)^{-n} = \sum^{\infty}_{k = 0} \binom{-n}{k} x^k = \sum^{\infty}_{k = 0} \binom{n + k - 1}{k} (-1)^k x^k\]

위의 정리에서 $x$에 $-q$를 대입하면,

\[\sum^{\infty}_{y=0} \binom{k + y - 1}{y} q^{y} = (1 - q)^{-k}\]

식을 정리하면,

\[\begin{aligned} \sum f(x) &= \sum^{\infty}_{x=k} \binom{x-1}{k-1} p^k q^{x-k} \\ &= p^k \sum^{\infty}_{x=k} \binom{x-1}{k-1} q^{x-k} \\ & p^k \sum^{\infty}_{y=0} \binom{k + y - 1}{y} q^{y} \\ &= p^k \cdot (1 - q)^{-k} \\ &= p^k \cdot p^{-k} \\ &= 1 \end{aligned}\]

$\blacksquare$

즉, 유도 과정에서 Negative Binomial이 등장하기 때문에 지금의 Negative Binomial이라는 이름이 붙었다.

Theorem.

If $X \sim \text{Neg BIN}(k, p)$, then

• $\displaystyle E[X] = \frac{1}{p}k$
• $\displaystyle \text{Var}(X) = \left(\frac{1-p}{p^2}\right) k$

위의 결과를 잘 살펴보면, Geometric Distribution과 연관성을 찾을 수 있다. Geo에서는 평균이 $E[X] = \dfrac{1}{p}$였는데, NegBIN를 $k$개의 Geo가 모인 것으로 해석한다면, Geo의 평균 $\dfrac{1}{p}$가 $k$개 모인 셈이니 $\dfrac{1}{p}k$가 된다. 마찬가지로 분산에 대해서도 동일한 시각으로 접근해볼 수 있다. 😎

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이어지는 포스트에서는 <Poisson Distribution>라는 이산 확률 분포의 보스가 등장한다!! Poisson은 상당히 중요하니 눈여겨 살펴보도록 하자!

👉 Poisson Distribution