Negative Binomial Theorem

조합에 음수 $n$ 이 들어간 $(\binom{- n}{k})$ 를 어떻게 정의할까?

October 30, 2022 5 minute read

“확률과 통계(MATH230)” 수업에서 배운 것과 공부한 것을 정리한 포스트입니다. 전체 포스트는 Probability and Statistics에서 확인하실 수 있습니다 🎲

도입말Permalink

<조합; combination>은 아래와 같이 정의된다.

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

그러나 이것은 $n$ 과 $k$ 가 양수인 경우에 한정되었다. 이번 포스트에선 $n$ 이 음수인 경우를 살펴보고자 한다.

Negative CombinationPermalink

<Combination> $(\binom{n}{k})$ 의 해석은 본래 아래와 같다.

$n$ 개 대상에서 $k$ 개를 ‘순서없이’ 뽑는 경우의 수

그러나 $(\binom{n}{k})$ 의 실제 값을 계산할 때, 본인은 이렇게 이해하지 않고 아래와 같이 이해하고 계산한다.

분모는 $k!$ 이고, 분자는 $n$ 부터 시작해서 $(- 1)$ 를 $k$ 번 뺀 녀석들의 곱.

$n$ 이 음수인 <Negative Binomial>도 크게 다르지 않다. 위의 규칙을 그대로 적용하면 된다.

식을 써보면, (여기서는 $n$ 이 양수값이다.)

(\binom{- n}{k}) = \frac{(- n) \cdot (- n - 1) \dots (- n - (k - 1))}{k!}

이렇게 된다! 분자 부분에 $(- n)$ 부터 시작해 $(- 1)$ 를 $k$ 번 뺀 녀석의 곱을 만들어줬다!

“ $n$ 개 대상에서 $k$ 개를 ‘순서없이’ 뽑는 경우의 수”라는 해석은 무의미 해졌다. <Combination> $(\binom{n}{k})$ 라는 연산이 추상화되고 일반화된 것이다! 👏

DerivationPermalink

아이디어는 실변수 함수 $f (x)$ 를 다항 함수의 멱급수로 표현하는 <매크로린 급수; Macluarin Series>에서 출발한다. 예제는 Brilliant: Negative Binomial Theorem에서 빌려왔음을 미리 밝힌다. 아래의 함수를 “테일러 전개” 해보자.

\frac{1}{(1 + x)^{3}}

<Macluarin Series>는 $x = 0$ 주변에서 실변수 함수 $f (x)$ 를 아래와 같이 표현한 것이다.

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} + \dots

$(1 + x)^{- 3}$ 의 미분값들을 계산해보자.

\begin{aligned} f (x) = (1 + x)^{- 3} & \to f (0) = 1 \\ f^{'} (x) = - 3 (1 + x)^{- 4} & \to f (0) = - 3 \\ f^{″} (x) = (- 3 \cdot - 4) (1 + x)^{- 5} & \to f (0) = - 3 \cdot - 4 \\ ⋮ \\ f^{(k)} (x) = (- 3 \cdot - 4 \dots (- k - 2)) (1 + x)^{- 3 - k} & \to f^{(k)} (0) = - 3 \cdot - 4 \dots (- k - 2) \end{aligned}

이제 함수 $f (x)$ 를 <Macluarin Series>로 표현하면

1 - 3 x + \frac{- 3 \cdot - 4}{2!} x^{2} + \dots + \frac{- 3 \cdot - 4 \dots (- k - 2)}{k!} x^{k} + \dots

어라? 각 항의 계수를 잘 살펴보면, 앞에서 살펴본 <Negative Combination>의 형태가 엿보인다! 식을 바꿔보면,

1 + (\binom{- 3}{1}) x + (\binom{- 3}{2}) x^{2} + \dots + (\binom{- 3}{k}) x^{k} + \dots

와! 식을 더 깔끔하게 쓸 수 있다! 😀

위의 예제를 일반화하면,

\begin{aligned} \frac{1}{(1 + x)^{n}} \\ = 1 + (\binom{- n}{1}) x + (\binom{- n}{2}) x^{2} + \dots + (\binom{- n}{k}) x^{k} + \dots \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{- n}{k}) x^{k} \end{aligned}

뒤에서 <Negative Binomial Theorem>을 논할 때 다시 볼 것이다.

Negative Combination (2)Permalink

<Negative Combination>을 다르게 표현할 수도 있다.

(\binom{- n}{k}) = \frac{(- n) \cdot (- n - 1) \dots (- n - (k - 1))}{k!}

식에서 음수를 전부 빼서 $(- 1)$ 의 곱셈으로 압축해보자.

\frac{(- n) \cdot (- n - 1) \dots (- n - (k - 1))}{k!} = \frac{n \cdot (n + 1) \dots (n + (k - 1))}{k!} \cdot (- 1)^{k}

어라? 이 식의 순서를 바꿔보면…

\begin{aligned} \frac{n \cdot (n + 1) \dots (n + (k - 1))}{k!} \cdot (- 1)^{k} \\ = \frac{(n + (k - 1) \dots n)}{k!} \cdot (- 1)^{k} \\ = (\binom{n + k - 1}{k}) \cdot (- 1)^{k} \end{aligned}

즉, 정리하면

(\binom{- n}{k}) = (\binom{n + k - 1}{k}) \cdot (- 1)^{k}

인 것이다!

Negative Binomial TheoremPermalink

<이항 정리; Binomial Theorem>에 따르면 아래가 성립한다.

(1 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k}

이것을 음수 차수에 대해 기술하면, <Negative Binomial Theorem>이 된다.

(1 + x)^{- n} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{- n}{k}) x^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{n + k - 1}{k}) (- 1)^{k} x^{k}

맺음말Permalink

사실 <Negative Binomial Theorem>은 정리(Theorem) 수준의 대단한 녀석은 아니다. 그러나 본인은 처음 이 녀석을 봤을 때, <Combination>에 음수 $n$ 이 들어갈 수 있다는 사실을 받아들이는데 애를 먹었다 😥

이 정리는 Geometric Distribution을 확장한 “Negative Binomial Distribution”의 성질을 증명할 때, 다시 등장한다.

ReferencesPermalink

Brilliant: Negative Binomial Theorem

Seokyun Ha (aka. bluehorn07)

Negative Binomial Theorem

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