Taylor Series & Macluarin Series

“미적분학” 수업에서 배운 것과 공부한 것을 정리한 포스트입니다. 전체 포스트는 Calculus 페이지에서 확인하실 수 있습니다 📐

함수의 멱급수 표현

일반적으로 우리가 만나는 함수들은 아래와 같은 형태다.

\[f(x) = 1 + 3x + 4x^5\]

다항식의 합으로 구성되거나

\[f(x) = \frac{1}{1 + x}\]

분모의 형태이거나

\[f(x) = \sqrt{x + 5}\]

무리수 함수일 것이다. 이 함수들의 공통점은 모두 실변수 함수라는 것이다.

만약 실변수 함수 $f(x)$가 $x = x_0$에서 무한번 미분 가능한 함수라면, 이 함수를 다항식의 무한합으로 표현할 수 있다. 예를 들어, 함수 $f(x) = e^x$는 아래와 같이 표현할 수도 있다!

\[f(x) = e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\]

이렇게 함수 $f(x)$를 $x^k$의 멱급수 형태로 표현하는 것을 <테일러 급수; Taylor Series>라고 한다.

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Maclaurin Series

<테일러 급수; Taylor Series>를 살펴보기 전에, 조금더 쉬운 개념인 <매크로린 급수; Maclaurin Series>를 먼저 살펴보자.

기본적인 아이디어는 ‘접선’을 통해 함수를 근사하는 선형 근사(Linear Approximation)이다.

함수 $f(x)$를 선형 근사한 함수 $L(x)$는 아래와 같다. 표기의 편의를 귀해 $x = 0$ 지점에서 선형 근사를 수행하겠다.

\[L(x) = f(0) + f'(0) x\]

2차식으로 근사하는 2차 근사(Quadratic Approximation)도 해보자.

\[Q(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2\]

$x^2$의 계수에서 분모에 $2!$가 붙는 이유는 근사식 $Q(x)$를 2차 미분 했을 때, $Q^{\prime\prime}(0) = f^{\prime\prime}(0)$가 되어야 하기 때문이다.

1차, 2차 근사에서 보이는 패턴을 바탕으로 $k$차 근사식을 유도하면 아래와 같다.

\[f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots \frac{f^{k}(0)}{k!} x^k\]

$k$차 근사에서 더 나아가 무한번 근사를 하면 <Maclaurin Series>가 된다!

Definition. Maclaurin Series

For real-valued function $f(x)$, if it can be infinitely differential on $x = 0$, then we can represent $f(x)$ as a power series near the $x = 0$.

\[\begin{aligned} f(x) &= f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \cdots \frac{f^{k}(0)}{k!} x^k \cdots \\ &= \sum^\infty_{n=0} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n \end{aligned}\]

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Taylor Series

<테일러 급수: Taylor Series>는 이런 멱급수 근사를 $x = 0$가 아닌 $x = x_0$에서 수행한 것이다. <Maclaurin Series>의 일반화 버전이다. <테일러 전개; Taylor Expansion>라고도 한다.

Definition. Taylor Series

For real-valued function $f(x)$, if it can be infinitely differential on $x = x_0$, then we can represent $f(x)$ as a power series near the $x = x_0$.

\[\begin{aligned} T(x) &= f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + \cdots \frac{f^{k}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \cdots \\ &= \sum^\infty_{n=0} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n \end{aligned}\]

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Examples

테일러 함수로 표현되는 대표적인 함수들을 살펴보자.

• $1 / (1-x)$
• $e^x$
• $\sin x$

Fractional Function

Fractional function $1 / (1-x)$에 대한 매크로린 급수는 아래와 같다.

\[\left(\frac{1}{1-x}\right)^{(n)} = n! \cdot \frac{1}{(1-x)^n}\]

가 됨을 기억하자.

\[\begin{aligned} \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \\ &= \sum^{\infty}_{n=0} x^k \end{aligned}\]

단, 이 근사는 $-1 < x < 1$ 범위에서만 유효하다.

Exponential Function

Exponential function $e^x$에 대한 테일러 급수는 아래와 같다. 이때, $(e^x)’ = e^x$가 됨을 기억하자.

\[\begin{aligned} e^x &= 1 + 1 x + \frac{1}{2!}x^2 + \cdots \frac{1}{k!} x^k + \cdots \\ &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} \end{aligned}\]

Sine Function

Sine function $\sin x$에 대한 테일러 급수는 아래와 같다.

\[\begin{aligned} \sin x &= 0 + 1 x + 0 - \frac{1}{3!}x^3 + \cdots \\ &= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n} \frac{x^{(2n + 1)}}{(2n + 1)!} \end{aligned}\]

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Why Taylor Series?

실변수 함수 $f(x)$를 테일러 전개하면 그 함수의 다항식 표현을 알 수 있습니다. 우리가 다항 함수에 대해선 쉽게 다룰 수 있기 때문에 복잡하고 어려운 함수를 쉬운 버전으로 바꿀 수 있습니다!

예시는 ‘다크 프로그래머’님의 포스트를 참고했음을 미리 밝힙니다 🙏

적분 계산

적분 계산이 어려운 함수를 테일러 전개할 수 있다면, 적분이 훨씬 쉬워집니다.

\[\int \sin (x^2) \; dx = \int \left( x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \cdots \right) \; dx\]

함수의 점근 특성 파악

복잡한 함수들의 점근적(asymptotic) 특성을 쉽게 파악할 수 있습니다.

\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - \cdots }{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x} = 1\]

컴퓨터의 초월함수 계산

초월함수 $\sin x$, $e^x$ 등을 Bit 계산을 하는 컴퓨터가 계산하는 것은 어렵습니다. 그러나 초월함수를 테일러 전개해 다항 함수로 만들면, 컴퓨터가 계산하기 쉬운 형태가 됩니다. 컴퓨터로 초월함수를 $n$차까지 근사한 수 계산하면 매우 정밀한 결과를 얻을 수 있습니다.

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맺음말

이번 포스트에선 <테일러 급수>와 <매크로린 급수>를 소개하는 선에서 마무리하고자 한다. 이런 <테일러 급수>가 존재하는지에 대해 논의하는 <테일러 정리; Taylor Theorem>는 별도의 포스트에서 다루겠다.

주기 함수를 $\sin$, $\cos$의 무한합으로 근사하는 <푸리에 급수; Fourier Series>도 있다. <테일러 급수>와 마찬가지로 무한합의 계수 $a_n$ 값을 찾는 방식으로 근사를 수행한다.

👉 Fourier Series

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References

• ‘다크 프로그래머’님의 포스트
• Brilliant: Maclaurin Series
• Brilliant: Taylor Series