Limit and Continuity: Problem Solving

복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. 공부하면서 재밌어 보였던 문제들과 풀이들을 모아서 정리한 포스트 입니다. 미적분학 포스트 전체 보기

입델 논법이 수립된 과정

극한을 잘못된 명제로 정의 했을 때 발생하는 문제를 살펴본다. 과정을 따라가다보면 입델 논법에서 $\epsilon$과 $\delta$가 왜 필요한지 자연스럽게 알게 된다.

Wrong statement about limits

Show by example that the following statement is wrong.

The number $L$ is the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ if $f(x)$ gets closer to $L$ as $x$ approaches $c$.

Explain why the function in your example does not have the given value of $L$ as a limit as $x \rightarrow c$.

반례는 의외로 쉬운데, $f(x) = x^2$일 때, $f(x)$는 $x \rightarrow 0$으로 가면 $-1$에 가까워진다. 그런데 극한을 위와 같이 정의하면 극한값 $L$을 $-1$로 잡아도 그것이 성립한다.

이것은 표현의 모호성 때문인데, “$f(x)$ gets closer to $L$”라는 표현이 $d(x) = |f(x) - L|$의 값이 $x \rightarrow c$에 따라 줄어들기만 하면 되기 때문이다. 간격 함수 $d(x)$의 값이 꼭 0에 가까워질 필요가 없다. 이렇게 정의할 경우 함수의 극한값이 유일하지 않고 여러개 존재하는 꼴이 된다.

그래서 정확하게 표현하려면, 간격 $d(x) \rightarrow 0$로 극한과 함숫값이 거의 일치해서 0에 가까워져야 함을 언급 해야 한다.

cc. 사실 뭐가 틀렸는지 도저히 생각을 못해서 검색해서 찾았다 ㅠㅠ 출처

Another wrong statement about limits

Show by example that the following statement is wrong.

The number $L$ is the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ if, given any $\epsilon > 0$, there eixsts a value of $x$ for which $| f(x) - L | < \epsilon$.

Explain why the function in your example does not have the given value of $L$ as a limit as $x \rightarrow c$.

이번엔 간격 극한값과 함수 값이 거의 일치해야 한다는 조건이 붙었다. 그러나 안타깝게도 $| f(x) - L | < \epsilon$을 만족할 때의 $x$ 값에 대한 조건이 빠져있다…

함수 $f(x)$를 $\sin x$로 잡고, $c = 0$, 극한값 $L$은 $1/2$로 잡아보자. 그러면 임의의 $\epsilon > 0$에 대해서 $| \sin x - 1/2 | < \epsilon$를 만족하는 $x$가 항상 존재하는데, 그건 바로 $x = \pi/6$ 일 때다!

어?! 그런데 $x = \pi/6$은 $c = 0$과 너무 멀지 않은가?? 안타깝게도 함숫값과 극한값이 가까울 때의 $x$ 값에 대한 조건을 정하지 않았다… “$x$ approaches $c$”라고 표현 했지만, 이런 표현은 엄밀하지 않다. 그래서 $x$ 값이 $\pi/6$이더라도 위의 명제가 만족하는 것이다…!

그래서 입델-논법은 $| x - c | < \delta$ 범위의 모든 $x$가 $\epsilon$에 대한 부등식을 만족하는 $\delta > 0$의 개념이 추가된 것이다.

cc. 요 문제도 어디가 잘못된 건지 도저히 못 찾겠어서 솔루션 책을 보고야 이해했다 ㅠㅠ

그래서 우린 입델-논법을 극한의 정의로 사용합니다

위의 두 문제는 입델-논법에서 $\epsilon$와 $\delta$가 없으면 벌어지는 끔찍한 일들을 말해준다. 역시 입델은 짱이야… 그래서 입델을 극한의 엄밀한 정의라고 하나보다.

Let $f(x)$ be defined on an poen interval about $c$, except possible at $c$ itself. (함수값이 $x=c$에서 정의되지 않아도 상관 없기 때문.)

We say that the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ is the number $L$, and write

\[\lim_{x \rightarrow c} f(x) = L\]

if for every number $\epsilon > 0$, there exists a corresponding number $\delta > 0$ s.t. for all $x$,

\[0 < | x - c | < \delta \Longrightarrow | f(x) - L | < \epsilon\]

입델-논법에서 유도되는 유명한 성질이 바로 “Uniqueness of Limit”다. 입델-논법이 극한을 엄밀하게 정의해준 덕분에 “극한이 여러개 있으면 어떻하지?”라는 불안감 없이 극한은 하나야!라고 말할 수 있다.

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A Fixed point Theorem

Suppose that a function $f$ is continuous on the closed interval $[0, 1]$ and that $0 \leq f(x) \leq 1 $ for every $x$ in $[0, 1]$. Show that there must exist a number $c$ in $[0, 1]$ s.t. $f(c) = c$ ($c$ is called a fixed point of $f$).

풀이. $g(x) = f(x) - x$라고 하자. 양끝에 대해서 $0 \leq g(0) \leq 1$, $-1 \leq g(1) \leq 0$을 만족한다.

만약 $g(0) = 0$이거나 $g(1) = 0$이면 $f(0) = 0$, $f(1) = 1$이기 때문에 위의 명제를 만족한다.

만약, $g(0) \neq 0$이고 $g(1) \neq 0$라면 $0 <g(0)$이고, $g(1) < 0$이 되는데, 중간값 정리(Intermediate Value Theorem)을 사용하면 $(0, 1)$ 범위 사이에 어떤 상수 $c$가 있어 $g(c) = 0$을 만족하는 $c$가 존재함을 보장할 수 있다. 그런데 $g(c) = 0$은 곧 $f(c) = c$가 됨을 의미하므로, 위의 명제가 성립한다. $\blacksquare$

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Assigning a value to zero power of zero

\[0^0\]

의 값으로 아래 둘 중 어떤 값이 맞을지에 대한 문제다.

• $a^0 = 1$이므로 $0^0$도 $1$이다.
• $0^n = 0$이므로 $0^0$도 $0$이다.

일단 통상적으로는 $0^0 = 1$로 정의한다. 그 이유는 $f(x) = x^x$ 함수를 정의해 아래 케이스를 계산해보면

• $f(0.1) = 0.794$
• $f(0.01) = 0.955$
• $f(0.001) = 0.993$

으로 점점 $1$로 수렴하기 때문이다. 어쩌면 $0^0$은 $f(x) = x^x$에서 정의되지 않는 값일 수도 있고, 우리는 $0^0 = 1$라고 얘기하는 것도 정확한 함숫값이 아니라 그 극한값이 그렇다는 걸 얘기하는 걸지도 모르겠다.