Cauchy의 Mean Value Theorem, λ‘œν”Όνƒˆ 정리에 λŒ€ν•œ 증λͺ…, ν•¨μˆ˜μ˜ 연속성을 μœ„ν•œ ν™•μž₯.

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λ³΅μˆ˜μ „κ³΅ν•˜κ³  μžˆλŠ” μˆ˜ν•™κ³Όμ˜ μ‘Έμ—…μ‹œν—˜μ„ μœ„ν•΄ ν•™λΆ€ μˆ˜ν•™ κ³Όλͺ©λ“€μ„ λ‹€μ‹œ κ³΅λΆ€ν•˜κ³  μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€. κ³΅λΆ€ν•˜λ©΄μ„œ μž¬λ°Œμ–΄ λ³΄μ˜€λ˜ λ¬Έμ œλ“€κ³Ό 풀이듀을 λͺ¨μ•„μ„œ μ •λ¦¬ν•œ 포슀트 μž…λ‹ˆλ‹€. 미적뢄학 포슀트 전체 보기

Geometric MeanPermalink

The geometric mean of two positive numbers a and b is the number ab. Show that the value of c in the conclusion of the Mean Value Theorem fro f(x)=1/x on an interval of positive numbers [a,b] is c=ab.

MVTλ₯Ό μΆ©μ‹€νžˆ μ μš©ν•˜λ©΄ λ˜λŠ” 문제.

By MVT, there exist some c on [a,b] s.t. fβ€²(c)=f(b)βˆ’f(a)bβˆ’a.

fβ€²(c)=1/bβˆ’1/abβˆ’a=βˆ’ab

μ΄λ•Œ, fβ€²(x)=βˆ’1/x2μ΄λ―€λ‘œ c=abκ°€ λœλ‹€. β—Ό

κΈ°ν•˜ 평균은 μ™œ κΈ°ν•˜λΌκ³  λΆ€λ₯΄λŠ”κ°€?Permalink

μ§€κΈˆκΉŒμ§€ μ‚΄λ©΄μ„œ β€œκΈ°ν•˜ 평균”λ₯Ό κ½€ λͺ‡λ²ˆ λ§ˆμ£Όμ³€λŠ”λ° μ΄λ²ˆμ— 문제λ₯Ό ν’€λ©΄μ„œ 문득 μ™œ 이걸 β€œκΈ°ν•˜β€ 평균이라고 λΆ€λ₯΄λŠ”지 κΆκΈˆν•΄μ‘Œλ‹€.

Quora - Why is β€œgeometric mean” called geometric?μ—μ„œ λ§Œμ‘±ν• λ§Œν•œ 닡변을 μ°Ύμ•˜λ‹€ γ…Žγ…Ž 그리고 정말 κΈ°ν•˜ν•™μ—μ„œ μœ λž˜ν•œ 것이 λ§žλ‹€!!

μ§μ‚¬κ°ν˜•μ˜ 각 변이 a, b μΌλ•Œ, κ·Έ μ§μ‚¬κ°ν˜•μ˜ λ„“μ΄λŠ” ab이닀. 그런데 κ·Έ μ§μ‚¬κ°ν˜•μ΄λž‘ μ •ν™•νžˆ λ˜‘κ°™μ€ 넓이λ₯Ό κ°–λŠ” μ •μ‚¬κ°ν˜•μ˜ ν•œ λ³€μ˜ 길이 xλ₯Ό κ΅¬ν•˜κΈ° μœ„ν•΄ x2=ab둜 λ’€κ³ , μ΄λ•Œμ˜ x 값인 x=abλ₯Ό κΈ°ν•˜ ν‰κ· μœΌλ‘œ λ‘”λ‹€κ³  ν•œλ‹€.

μš”κ±Έ μ •μœ‘λ©΄μ²΄, κ·Έ μ΄μƒμ˜ μ°¨μ›μœΌλ‘œλ„ κΈ°ν•˜ 평균을 ν™•μž₯ν•  수 μžˆλ‹€.

그럼 μ‘°ν™” 평균은 μ™œ μ‘°ν™” 평균인가?Permalink

κ°‘μžκΈ° β€œμ‘°ν™” 평균”은 μ™œ κ·ΈλŸ΄κΉŒβ€¦λΌλŠ” 생각도 ν•˜κ²Œ λ˜μ—ˆλ‹€ γ…‹γ…‹γ…‹

Harmonic Mean.

(1/a+1/b2)βˆ’1=2aba+b

μš”κ±΄ {1,1/3,1/5,1/7,…}와 같이 μ—­μˆ˜κ°€ λ“±μ°¨μˆ˜μ—΄μ„ μ΄λ£¨λŠ” β€œμ‘°ν™” μˆ˜μ—΄β€μ—μ„œ μˆ˜μ—΄μ˜ μ—°μ†ν•œ μ„Έ κ°’ a, b, cμ—μ„œ b의 값을 μ‘°ν™” 쀑항 λ˜λŠ” μ‘°ν™” 평균이라고 ν•œλ‹€.

μ΄λ•Œ b와 a, c의 κ°’μœΌλ‘œ ν‘œν˜„ν•˜λ©΄ μ‘°ν™” 평균과 같은 ν˜•νƒœκ°€ μœ λ„λœλ‹€.

Cauchy’s Mean Value TheoremPermalink

Suppose functions f and g are continuous on [a,b] and differentiable throughout (a,b) and also suppose gβ€²(x)β‰ 0 throughout (a,b). Then there exists a number c in (a,b) at which

fβ€²(c)gβ€²(c)=f(b)βˆ’f(a)g(b)βˆ’g(a)

일단 μ½”μ‹œμ˜ 정리가 μ–΄λ–€ 의미λ₯Ό κ°€μ§€λŠ”μ§€λΆ€ν„° μ΄ν•΄ν•΄λ³΄μž. ν•¨μˆ˜ f와 gκ°€ 각각 parametric function의 y, xλ₯Ό ν‘œν˜„ν•˜λŠ” ν•¨μˆ˜λΌκ³  ν•΄λ³΄μž. (참고둜 Parametric Function은 미적2 λ‚΄μš©μ΄λ‹€.)

x=g(t)y=f(t)

μ΄λ•Œ, t=a와 t=b에 λŒ€ν•œ 평균 λ³€ν™”μœ¨μ„ κ΅¬ν•˜λ©΄ μ•„λž˜μ™€ 같을 것이닀.

slope=f(b)βˆ’f(a)g(b)βˆ’g(a)

그런데 μ½”μ‹œμ˜ μ •λ¦¬λŠ” 이 slope의 κΈ°μšΈκΈ°μ™€ λ™μΌν•œ 기울기λ₯Ό 가진 접선이 t:(a,b) λ²”μœ„ μ•ˆμ˜ μ–΄λ–€ t=c에 μ‘΄μž¬ν•¨μ„ λ§ν•œλ‹€.

즉,

dydx=dy/dtdx/dt=fβ€²(c)gβ€²(c)=f(b)βˆ’f(a)g(b)βˆ’g(a)

인 μ‹œμ  t=cλ₯Ό 찾을 수 μžˆλ‹€λŠ” 것이닀.

μš”κ±Έ μ‹œκ°μ μœΌλ‘œ ν™•μΈν•˜λ©΄ 이런 λŠλ‚Œμ΄λ‹€.

증λͺ…은 MVTλ₯Ό ν™œμš©ν•˜λ©΄ λ˜λŠ”λ°, κ°„λ‹¨ν•œ 것 κ°™μ•„μ„œ νŒ¨μŠ€β€¦!

Proof of l’hΓ΄pital’s rulePermalink

일단 증λͺ…을 ν•˜κΈ° 전에 상황뢀터 μ„ΈνŒ…ν•˜μž.

Let assume, f(a)=g(a)=0, and gβ€²(a)β‰ 0. Then,

limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)

일단 limxβ†’af(x)g(x)λŠ” 0/0 꼴의 λΆ€μ •ν˜•μΈ 상황이닀.

ν•¨μˆ«κ°’μ˜ κ·Ήν•œμ„ 0으둜 λ³΄λ‚΄λŠ” aλΌλŠ” κ°’μ˜ 였λ₯Έμͺ½μ—μ„œ a둜 μ ‘κ·Όν•˜λŠ” xβ†’a+ 상황을 μ‚΄νŽ΄λ³΄μž. λ°˜λŒ€μΈ xβ†’xβˆ’ 상황은 λŒ€μΉ­μ΄λΌμ„œ μƒλž΅ν•œλ‹€.

κ·Έλ €λ©΄ μ½”μ‹œμ˜ 정리에 따라 (a,x) 사이에 μ•„λž˜ 식을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” cκ°€ μ‘΄μž¬ν•¨μ΄ 보μž₯λœλ‹¨.

fβ€²(c)gβ€²(c)=f(x)βˆ’f(a)g(x)βˆ’g(a)

μ΄λ•Œ, f(a)=g(a)=0μ΄λ―€λ‘œ

fβ€²(c)gβ€²(c)=f(x)g(x)

이제 μ–‘μͺ½μ— κ·Ήν•œμ„ μ·¨ν•˜λ©΄

limx→a+f(x)g(x)=limx→a+f′(c)g′(c)

μ—μ„œ xβ†’a+κ°€ 되면, (a,x) 사이에 μžˆλŠ” cλŠ” cβ†’aκ°€ λœλ‹€. λ”°λΌμ„œ

limx→a+f(x)g(x)=limx→a+f′(c)g′(c)=limx→a+f′(a)g′(a)

β—Ό

Variation of Sine FunctionPermalink

(sin⁑x)xPermalink

μ—°μŠ΅ λ¬Έμ œμ— λ‚˜μ™”λ˜ ν•¨μˆ˜λ‹€. 일단 λ¬Έμ œμ—μ„œλŠ” κ·Έλž˜ν”„μ˜ κ°œν˜•μ„ 그렀보고, ν•¨μˆ˜κ°€ x=0μ—μ„œ 연속이기 μœ„ν•΄ κ°€μ Έμ•Ό ν•  ν•¨μˆ«κ°’μ— λŒ€ν•΄μ„œ λ¬Όμ–΄λ΄€λ‹€.

x=0μ—μ„œλŠ” 00 꼴이 λ˜λŠ”λ°, Ch 1: Limit and Continuityμ—μ„œλ„ 봀듯이 00의 κ·Ήν•œμ˜ 값은 1둜 ν• λ‹Ή ν–ˆμ—ˆλ‹€. μ‹€μ œλ‘œ ν•¨μˆ˜ κ·Έλž˜ν”„λ„ x=0μ—μ„œ 1의 값을 가진닀!

λ¬Όλ‘  00의 κ·Ήν•œμ΄ 1μ΄μ—ˆμœΌλ‹ˆ (sin⁑x)x의 κ·Ήν•œλ„ 1이 λ˜μ–΄μ•Ό ν•œλ‹€λŠ” 건 μ—„λ°€ν•œ 증λͺ…이 μ•„λ‹ˆλ‹€. μ—„λ°€νžˆ 증λͺ…ν•˜κΈ° μœ„ν•΄μ„œ power form의 λΆ€μ •ν˜•μ— λŒ€ν•œ κ·Ήν•œμ„ ν™•μΈν•˜λ©΄ λœλ‹€. (그리고 μ΄λ•Œ λ‘œν”Όνƒˆμ„ μ“°κ²Œ λœλ‹€.)

Let f(x)=(sin⁑x)x, we will find the limit of ln⁑f(x).

limxβ†’0ln⁑f(x)=limxβ†’0xβ‹…ln⁑sin⁑x=limxβ†’0ln⁑sin⁑x1/x

이제 0/0 꼴의 κ·Ήν•œμ΄λ‹ˆ λ‘œν”Όνƒˆ 정리λ₯Ό μ μš©ν•˜λ©΄ λœλ‹€ γ…Žγ…Ž

limxβ†’0ln⁑sin⁑x1/xβ‡’limxβ†’0cos⁑x/sin⁑xβˆ’1/x2=limxβ†’0xsin⁑xβ‹…(βˆ’cos⁑xβ‹…x)=0

ln⁑f(x)의 κ·Ήν•œμ΄ 0μ΄λ―€λ‘œ f(x)의 κ·Ήν•œμ€ 1이 λœλ‹€! β—Ό

(sin⁑x)tan⁑xPermalink

(sin⁑x)x와 λΉ„μŠ·ν•˜μ§€λ§Œ μ΄λ²ˆμ—λŠ” μ§€μˆ˜κ°€ tan⁑xκ°€ λ˜μ—ˆλ‹€!

본래 tan⁑xκ°€ x=Ο€/2 μ§€μ μ—μ„œ μ •μ˜κ°€ λ˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€. κ·ΈλŸ¬λ‚˜ μœ„μ˜ ν•¨μˆ˜λŠ” ν•΄λ‹Ή μ§€μ μ—μ„œ 값이 μ •μ˜λœλ‹€!! μ–΄λ–»κ²Œ 된 걸까!!

일단 sin⁑xκ°€ x=Ο€/2μ—μ„œ 1이기 λ•Œλ¬Έμ— μ΄λ²ˆμ—λŠ” 1∞의 상황이닀! λ¬Όλ‘  x=0μ—μ„œλ„ 연속성을 μœ„ν•œ ν™•μž₯이 ν•„μš”ν•˜κΈ΄ ν•˜λ‹€.

μ΄λ²ˆμ—λ„ power form의 λΆ€μ •ν˜• κ·Ήν•œμ„ 핸듀링 ν•˜λŠ” 접근을 μ μš©ν•˜λ©΄ λœλ‹€.

We will find the limit of ln⁑f(x)

limxβ†’0ln⁑f(x)=limxβ†’0tan⁑xβ‹…ln⁑sin⁑x=limxβ†’0ln⁑sin⁑x1/tan⁑x

이제 κ·Ήν•œμ„ μ°ΎκΈ° μœ„ν•΄ λ―ΈλΆ„ν•˜μž. λ‘œν”Όνƒˆμ˜ 정리λ₯Ό μ“΄λ‹€.

limxβ†’0ln⁑sin⁑x1/tan⁑x=limxβ†’0cos⁑x/sin⁑xβˆ’sec2⁑x/tan2⁑x=limxβ†’0cos3⁑xsin⁑xβ‹…tan2⁑x=limxβ†’0cos⁑xβ‹…sin⁑x=0

ln⁑f(x)의 κ·Ήν•œκ°’μ΄ 0μ΄λ―€λ‘œ f(x)의 κ·Ήν•œκ°’μ€ 1이 λœλ‹€. β—Ό

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