Vector Form of Green Theorem

영역 내부의 회전(circulation)과 유출(flux)을 그린 정리의 선적분으로 계산하는 방법에 대해서 🌊

July 25, 2024 6 minute read

복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. 미적분학 포스트 전체 보기

들어가며Permalink

발산과 회전에 대해서 배웠다면, 그린 정리를 이 둘을 사용해 표현할 수 있습니다!

그린 정리(Green’s Theorem)는 2차원 평면 위의 벡터장 $F (x, y)$ 에 대한 선적분이 그것의 성분 벡터의 편미분을 조합한 어떤 이중 적분과 연결하는 정리였다.

[그린 정리]

\int_{C} F \cdot d r = \int_{C} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A

그런데 이 정리를 3차원 공간에서 $z$ 좌표가 0인 3차원 벡터장 $F (x, y, 0)$ 으로 바꾸어 살펴보면, 그린 정리를 발산(div)과 회전(curl)과 연결 해볼 수 있다. 😮

내용을 정리하기 전에 dimenchoi님의 그린 정리의 직관적인 이해와 증명(Green’s Theorem) 포스트가 이 부분을 이해하는데 많은 도움이 되었음을 밝힌다. 아래 글을 읽기 전에 위의 포스트를 먼저 읽고 오길 강추 한다!!

2차원의 벡터장에 $z = 0$ 인 $z$ 성분을 추가하여 3차원 벡터장 $F = ⟨ x, y, 0 ⟩$ 을 생각해보자. 이때, 이 벡터장의 curl 벡터는 아래와 같다.

curl F = | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P (x, y) & Q (x, y) & 0 \end{matrix} | = (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) k

요기에 $z$ 성분만 있는 벡터에 unit vector $k$ 를 내적하면, 익숙한 식이 나온다.

(curl F) \cdot k = (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})

요건 그린 정리에서 이중 적분에 들어가는 아주 익숙한 형태다!! 그래서 식을 정리하면…

\int_{C} F \cdot d r = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A = \iint_{D} (curl F) \cdot k d A

Tangential Form은 영역 $D$ 내부에서의 회전(curl)의 총합이 경계 곡선 $C$ 위에서의 tangential integral로 대신 구할 수 있음을 말하는 것이다.

그린 정리의 Normal Form은 선적분을 곡선의 진행 방향 $d r$ 과 수직인 벡터에 대해서 선적분을 수행하는 것이다.

\oint_{C} F \cdot N d s

그리고 이것은 곡선 $C$ 가 만드는 영역 $D$ 를 출입하는 유체의 흐름인 발산(divergence)의 총합의 값과 동일하다.

\oint_{C} F \cdot N d s = \iint_{D} (\nabla \cdot F) d A = \iint_{D} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}) d A

위의 식이 어떻게 유도되는지를 좀더 살펴보자.

먼저, 곡선 $C$ 가 아래와 같은 벡터 매개방정식이라고 생각해보자.

r (t) = x (t) i + y (t) j

이때, 곡선에 접하는 Unit Tangent Vector $T (t)$ 를 구하면 아래와 같다.

T (t) = \frac{x^{'} (t)}{| r^{'} (t) |} i + \frac{y^{'} (t)}{| r^{'} (t) |} j

그리고 이에 대한 노멀 벡터 $N (t)$ 는 $T (t) \cdot N (t) = 0$ 임을 생각하면 아래와 같이 유도된다.

N (t) = \frac{y^{'} (t)}{| r^{'} (t) |} i - \frac{x^{'} (t)}{| r^{'} (t) |} j

이제 다시 적분식으로 돌아오자. 적분식에서 미소길이량을 곡선의 매개 변수로 다시 쓰면 아래와 같다.

\oint_{C} F \cdot N d s = \oint_{C} (F \cdot N) (t) | r^{'} (t) | d t

그리고 이 식을 잘 정리하면…

\begin{aligned} \oint_{C} F \cdot N d s & = \oint_{C} (F \cdot N) (t) | r^{'} (t) | d t \\ = \oint_{C} (\frac{P (x, y) \cdot y^{'} (t)}{| r^{'} (t) |} - \frac{Q (x, y) \cdot x^{'} (t)}{| r^{'} (t) |}) | r^{'} (t) | d t \\ = \oint_{C} P (x, y) \cdot y^{'} (t) d t - Q (x, y) \cdot x^{'} (t) d t \\ = \oint_{C} P d y - Q d x \end{aligned}

마지막 식을 $d x$ , $d y$ 순서를 다시 맞추고, 그린 정리의 형식에 맞춰 편미분으로 다시 쓰면 아래와 같다.

\begin{aligned} \oint_{C} P d y - Q d x \\ = \oint_{C} (- Q d x + P d y) \\ = \iint_{D} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}) d A \end{aligned}

그리고 위의 마지막 식은 벡터장 $F$ 에 발산(div) 연산을 취한 $div F = \nabla \cdot F$ 와 같다.

$◼$

저는 처음에 그린 정리를 2가지 형태로 포함할 수 있다는 사실을 받아들이는게 힘들었습니다.

Tangential Form은 나중에 스토스크 정리가 되고, Normal Form은 나중에 발산 정리가 됩니다.