System of ODEs

복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다만… 미분방정식은 졸업시험 대상 과목이 아니라는 걸 나중에 알게 되었습니다… OTL… 그래도 이왕 시작한 거 다시 복습 좀 해봅시다! 🏃 미분방정식 포스트 전체 보기

들어가며

미분방정식의 끝물에 배우는 기법이다. 미분방정식 강의를 들을 때, 지금까지 했던 내용을 뭔가 반복하는 것 같아서 설렁설렁 들었던 기억이 있는데, “상미분방정식(상미분방정식(MATH412))”을 공부할 때 다시 만나게 되었습니다 😬

What is it?

어떻게 하는지는 요 강의를 참고합시닷!! 기법 자체는 별로 어렵지 않던 것 같다. (까먹지만 않는다면!) 요 기법을 정리하려고 요 포스트를 쓸 마음을 먹은 것은 아니다 ㅎㅎ

Simple Harmonic Oscillation

미분방정식을 그래도 조금 풀어봤다면,

\[x'' = -\omega^2 x\]

라는 미분방정식에 익숙할 것이다. 요것은 Harmonic Oscillation 상황 중에서도 외력이 없는 “Simple Harmonic Oscillation“에 해당한다.

이것을 System of ODE로 표현하면 아래와 같다.

\[\begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \end{pmatrix}\]

그런데, 이걸 요런 형태로 표현해도 동일하다!!

\[\begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 & \omega \\ -\omega & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \end{pmatrix}\]

우리는 이 ODE의 해가 $x_0(t) = \cos \omega t$임을 알고 있다. 이걸 첫번째 System에 적용해도 성립하고, 두번째 System에 적용해도 성립한다!! 두번째 System에서는 $x_1(t) = \sin \omega t$가 되어 성립한다.

이 상황이 처음에는 이해가 잘 안 되었는데, 같은 System of ODE를 표현하는 방식이 유일하게 존재할 거라고 생각했던 것 같다. 그러나 System of ODEs의 표현은 유일하지 않다. 위와 같은 반례가 존재한다!!

영상에 나왔던 방식을 따르지 않았으니 System of ODEs가 아닌건가?라고 생각이 들 수도 있지만, System of ODEs는 주어진 “n차 미분방정식은 n개의 1차 미분방정식으로 바꾸는 것”라고만 하지 정확히 어떤 방법을 써야 한다는 나오지 않는다. 즉, 이 규칙에만 맞게 보조 변수를 도입하면 된다는 것!

Complex Root Case

Simple Harmonic Oscillation의 경우는 Eigen Value $\alpha \pm \beta i$에서 실수부가 없는 경우이다. 만약 실수부가 존재한다면, System of ODEs로 표현하면 아래와 같다.

\[\begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \end{pmatrix}\]

허근에서 실수부가 존재한다면, System of ODEs의 표현 방법은 이것 뿐이다. 그리고 잘 보면 $X’ = AX$의 꼴을 가지는데, 기저 변환(change of basis) 후에 표현한 System of ODEs로 해석할 수도 있을 것 같다.

미방 수업을 잘 따라왔다면 이미 알겠지만 Solution은 아래와 같다.

• $x_0(t) = e^{\alpha} \cos \beta t$
• $x_1(t) = e^{\alpha} \sin \beta t$