Three Sylow Theorems
2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)
3가지 Isomorphism Threorem이 순한 맛이었다면, 3가지 Sylow Theorem은 매운 맛이다 ㅠㅠ
그나마 다행인 점은 Sylow Theorem에 대한 증명은 학부 수준을 벗어나서 수업 때 교수님이 증명하시진 않았다는 점이다 ㅠㅠ
그래도 Application은 여전히 어렵다 ㅠㅠ
Sylow Theorem들은 모두 유한군을 분석하는 도구로 사용된다. 그리고 소수 $p$를 아주 좋아한다
Sylow Theorem을 이용하면 유한군에서 위수에 대한 정보 만으로 유한군의 구조와 부분군들에 대해 알아낼 수 있다!!
Lagrange Theorem이 특정 위수의 부분군이 없음을 보이는 데에 유용했다면,
(Converse of Lagrange 때문에 Lagrange Thm으로 특정 위수의 부분군이 있음을 보이는 건 불가능하다.)
Sylow Theorem은 특정 위수의 부분군이 있음을 보이는 데에 유용하다!!
$p$-group
Definition. $p$-group
Let $p$ be a prime number.
A group $G$ is called “$p$-group”,
if every elts has a power of $p$ order
p.s. $p$-group의 subgroup도 여전히 $p$-group이다!
(생각해보면, $p$-group의 원소를 모아 subgroup을 만들었으니 당연하긴 하다 ㅋㅋ)
Theorem. (Cauchy)
Let $G$ be a finite group, and $p \mid \lvert G \rvert$.
Then, $G$ has an elt of order $p$.
수업 때 증명은 생-략하셨음!
Corollary.
Let $G$ be a finite group,
$G$ is a $p$-group $\iff$ $\lvert G \rvert$ is a power of $p$
($\impliedby$) Let $\lvert G \rvert = p^n$.
For $a \in G$, $\lvert a \rvert \mid \lvert G \rvert$,
then $\lvert a \rvert = p^{k} \quad (0 \le k \le n)$.
This means $G$ is a $p$-group.
($\implies$) Supp. $G$ is $p$-group.
Then, $p$ is the only prime divisor of $\lvert G \rvert$.
If there’s additional prime divisor, $p’ \ne p$,
then by Cauchy, $\exists$ an elt $a \in G$ s.t. $\lvert a \rvert = p’$.
then this mean $G$ is not $p$-group.
Therefore, $p$ is the only prime divisor of $\lvert G \rvert$.
This means $\lvert G \rvert = p^n$.
Normalizer
Definition.
For $H \le G$, the normalizer of $H$ in $G$ is
\[N_G (H) := \{g \in G \mid gHg^{-1} = H\}\]만약 $N_G(H) = G$라면, subgroup $H$는 normal subgroup이 된다!
Normalizer $N_G(H)$에 대한 성질들을 좀더 알아보자.
Properties. Normalizer $N_G(H)$
1. $H \trianglelefteq N_G(H)$
normalizer 정의가 $H$를 normal하게 만드는 원소들의 집합이므로 당연히 $H$는 $N_G(H)$에 normal subgroup이다.
2. $N_G(H) \le G$
$N_G(H)$가 subgroup의 정의를 만족하는지 확인해보면 된다.
1st Sylow Theorem
Theorem. 1st Sylow Theorem
Let $\lvert G \rvert = p^n \cdot m$ where $n, m \in \mathbb{N}$ and $(m, p) = 1$.
Then,
1. $G$ contains subgroup of order $p^i \quad (0 \le i \le n)$.
- $p^0 = e$ : trivial subgroup
- $p^1$ : by Cauchy
- $p^2, \cdots p^n$ : by 1st Sylow Thm
2. Every “subgroup of order $p^i \quad (i<n)$” is a normal subgroup of a “subgroup of order $p^{i+1}$”.
즉, $\lvert H \rvert = p^i$인 subgp $H$에 대해 $H \trianglelefteq H’$인 normal subgroup이 $\lvert H’ \rvert = p^{i+1} = \lvert H \rvert \cdot p$를 갖고 존재함을 보장한다.
증명은 학부 과정을 상회하므로 생-략 한다.
Sylow $p$-group
Definition. Sylow $p$-group
For $\lvert G \rvert < \infty$,
a “Sylow $p$-group $P$” is a maximal $p$-subgroup of $G$.
즉, $p$-subgroup인데 자기 자신을 포함하는 더 큰 $p$-subgroup이 없는 $p$-subgroup을 maximal subgroup이라고 하며, 이것을 “Sylow $p$-group”이라고 한다.
※ 어떤 Group이든 Sylow $p$-subgroup을 반드시 가진다!
2nd Sylow Theorem
Theorem. 2nd Sylow Theorem
Let $P_1$, $P_2$ be two Sylow $p$-subgroup of finite group $G$.
Then, $P_1$ and $P_2$ are conjugate of each other.
즉,
\[P_1 = g{P_2}g^{-1} \quad (\textrm{for some} \; g \in G)\]3rd Sylow Theorem
Theorem. 3rd Sylow Theorem
If a prime $p$ divides $\lvert G \rvert$; $p \mid \lvert G \rvert$,
then the (# of Sylow $p$-subgroup) is congruent to 1 (mod $p$)
and it divides $\lvert G \rvert$.
Sylow Theorem에 대한 Application은 아래에서 확인할 수 있다!