Three Sylow Theorems

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

December 26, 2020 6 minute read

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

3가지 Isomorphism Threorem이 순한 맛이었다면, 3가지 Sylow Theorem은 매운 맛이다 ㅠㅠ

그나마 다행인 점은 Sylow Theorem에 대한 증명은 학부 수준을 벗어나서 수업 때 교수님이 증명하시진 않았다는 점이다 ㅠㅠ

그래도 Application은 여전히 어렵다 ㅠㅠ

Sylow Theorem들은 모두 유한군을 분석하는 도구로 사용된다. ~~그리고 소수 $p$ 를 아주 좋아한다~~

Sylow Theorem을 이용하면 유한군에서 위수에 대한 정보 만으로 유한군의 구조와 부분군들에 대해 알아낼 수 있다!!

Lagrange Theorem이 특정 위수의 부분군이 없음을 보이는 데에 유용했다면,
(Converse of Lagrange 때문에 Lagrange Thm으로 특정 위수의 부분군이 있음을 보이는 건 불가능하다.)

Sylow Theorem은 특정 위수의 부분군이 있음을 보이는 데에 유용하다!!

$p$ -groupPermalink

Definition. $p$ -group

Let $p$ be a prime number.

A group $G$ is called “ $p$ -group”,

if every elts has a power of $p$ order

p.s. $p$ -group의 subgroup도 여전히 $p$ -group이다!
(생각해보면, $p$ -group의 원소를 모아 subgroup을 만들었으니 당연하긴 하다 ㅋㅋ)

Theorem. (Cauchy)

Let $G$ be a finite group, and $p ∣ | G |$ .

Then, $G$ has an elt of order $p$ .

수업 때 증명은 생-략하셨음!

Corollary.

Let $G$ be a finite group,

$G$ is a $p$ -group $⟺$ $| G |$ is a power of $p$

( $⟸$ ) Let $| G | = p^{n}$ .

For $a \in G$ , $| a | ∣ | G |$ ,

then $| a | = p^{k} (0 \leq k \leq n)$ .

This means $G$ is a $p$ -group.

( $⟹$ ) Supp. $G$ is $p$ -group.

Then, $p$ is the only prime divisor of $| G |$ .

If there’s additional prime divisor, $p^{'} \neq p$ ,

then by Cauchy, $\exists$ an elt $a \in G$ s.t. $| a | = p^{'}$ .

then this mean $G$ is not $p$ -group.

Therefore, $p$ is the only prime divisor of $| G |$ .

This means $| G | = p^{n}$ .

NormalizerPermalink

Definition.

For $H \leq G$ , the normalizer of $H$ in $G$ is

N_{G} (H) := {g \in G ∣ g H g^{- 1} = H}

만약 $N_{G} (H) = G$ 라면, subgroup $H$ 는 normal subgroup이 된다!

Normalizer $N_{G} (H)$ 에 대한 성질들을 좀더 알아보자.

Properties. Normalizer $N_{G} (H)$

1. $H ⊴ N_{G} (H)$

normalizer 정의가 $H$ 를 normal하게 만드는 원소들의 집합이므로 당연히 $H$ 는 $N_{G} (H)$ 에 normal subgroup이다.

2. $N_{G} (H) \leq G$

$N_{G} (H)$ 가 subgroup의 정의를 만족하는지 확인해보면 된다.

1st Sylow TheoremPermalink

Theorem. 1st Sylow Theorem

Let $| G | = p^{n} \cdot m$ where $n, m \in N$ and $(m, p) = 1$ .

Then,

1. $G$ contains subgroup of order $p^{i} (0 \leq i \leq n)$ .

$p^{0} = e$ : trivial subgroup
$p^{1}$ : by Cauchy
$p^{2}, \dots p^{n}$ : by 1st Sylow Thm

2. Every “subgroup of order $p^{i} (i < n)$ ” is a normal subgroup of a “subgroup of order $p^{i + 1}$ ”.

즉, $| H | = p^{i}$ 인 subgp $H$ 에 대해 $H ⊴ H^{'}$ 인 normal subgroup이 $| H^{'} | = p^{i + 1} = | H | \cdot p$ 를 갖고 존재함을 보장한다.

증명은 학부 과정을 상회하므로 생-략 한다.

Sylow $p$ -groupPermalink

Definition. Sylow $p$ -group

For $| G | < \infty$ ,

a “Sylow $p$ -group $P$ ” is a maximal $p$ -subgroup of $G$ .

즉, $p$ -subgroup인데 자기 자신을 포함하는 더 큰 $p$ -subgroup이 없는 $p$ -subgroup을 maximal subgroup이라고 하며, 이것을 “Sylow $p$ -group”이라고 한다.

maximal

p

-subgroup = Sylow

p

-group

※ 어떤 Group이든 Sylow $p$ -subgroup을 반드시 가진다!

2nd Sylow TheoremPermalink

Theorem. 2nd Sylow Theorem

Let $P_{1}$ , $P_{2}$ be two Sylow $p$ -subgroup of finite group $G$ .

Then, $P_{1}$ and $P_{2}$ are conjugate of each other.

즉,

P_{1} = g P_{2} g^{- 1} (for some g \in G)

3rd Sylow TheoremPermalink

Theorem. 3rd Sylow Theorem

If a prime $p$ divides $| G |$ ; $p ∣ | G |$ ,

then the (# of Sylow $p$ -subgroup) is congruent to 1 (mod $p$ )

and it divides $| G |$ .

Sylow Theorem에 대한 Application은 아래에서 확인할 수 있다!

Seokyun Ha (aka. bluehorn07)

Three Sylow Theorems

$p$ -groupPermalink

NormalizerPermalink

1st Sylow TheoremPermalink

Sylow $p$ -groupPermalink

2nd Sylow TheoremPermalink

3rd Sylow TheoremPermalink

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