Three Sylow Theorems
2020-2ํ๊ธฐ, ๋ํ์์ โํ๋๋์1โ ์์ ์ ๋ฃ๊ณ ๊ณต๋ถํ ๋ฐ๋ฅผ ์ ๋ฆฌํ ๊ธ์ ๋๋ค. ์ง์ ์ ์ธ์ ๋ ํ์์ ๋๋ค :)
3๊ฐ์ง Isomorphism Threorem์ด ์ํ ๋ง์ด์๋ค๋ฉด, 3๊ฐ์ง Sylow Theorem์ ๋งค์ด ๋ง์ด๋ค ใ ใ
๊ทธ๋๋ง ๋คํ์ธ ์ ์ Sylow Theorem์ ๋ํ ์ฆ๋ช ์ ํ๋ถ ์์ค์ ๋ฒ์ด๋์ ์์ ๋ ๊ต์๋์ด ์ฆ๋ช ํ์์ง ์์๋ค๋ ์ ์ด๋ค ใ ใ
๊ทธ๋๋ Application์ ์ฌ์ ํ ์ด๋ ต๋ค ใ ใ
Sylow Theorem๋ค์ ๋ชจ๋ ์ ํ๊ตฐ์ ๋ถ์ํ๋ ๋๊ตฌ๋ก ์ฌ์ฉ๋๋ค. ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ์์
Sylow Theorem์ ์ด์ฉํ๋ฉด ์ ํ๊ตฐ์์ ์์์ ๋ํ ์ ๋ณด ๋ง์ผ๋ก ์ ํ๊ตฐ์ ๊ตฌ์กฐ์ ๋ถ๋ถ๊ตฐ๋ค์ ๋ํด ์์๋ผ ์ ์๋ค!!
Lagrange Theorem์ด ํน์ ์์์ ๋ถ๋ถ๊ตฐ์ด ์์์ ๋ณด์ด๋ ๋ฐ์ ์ ์ฉํ๋ค๋ฉด,
(Converse of Lagrange ๋๋ฌธ์ Lagrange Thm์ผ๋ก ํน์ ์์์ ๋ถ๋ถ๊ตฐ์ด ์์์ ๋ณด์ด๋ ๊ฑด ๋ถ๊ฐ๋ฅํ๋ค.)
Sylow Theorem์ ํน์ ์์์ ๋ถ๋ถ๊ตฐ์ด ์์์ ๋ณด์ด๋ ๋ฐ์ ์ ์ฉํ๋ค!!
-groupPermalink
Definition.
Let
A group
if every elts has a power of
p.s.
(์๊ฐํด๋ณด๋ฉด,
Theorem. (Cauchy)
Let
Then,
์์ ๋ ์ฆ๋ช ์ ์-๋ตํ์ จ์!
Corollary.
Let
(
For
then
This means
(
Then,
If thereโs additional prime divisor,
then by Cauchy,
then this mean
Therefore,
This means
NormalizerPermalink
Definition.
For
๋ง์ฝ
Normalizer
Properties. Normalizer
1.
normalizer ์ ์๊ฐ
2.
1st Sylow TheoremPermalink
Theorem. 1st Sylow Theorem
Let
Then,
1.
: trivial subgroup : by Cauchy : by 1st Sylow Thm
2. Every โsubgroup of order
์ฆ,
์ฆ๋ช ์ ํ๋ถ ๊ณผ์ ์ ์ํํ๋ฏ๋ก ์-๋ต ํ๋ค.
Sylow -groupPermalink
Definition. Sylow
For
a โSylow
์ฆ,
โป ์ด๋ค Group์ด๋ Sylow
2nd Sylow TheoremPermalink
Theorem. 2nd Sylow Theorem
Let
Then,
์ฆ,
3rd Sylow TheoremPermalink
Theorem. 3rd Sylow Theorem
If a prime
then the (# of Sylow
and it divides
Sylow Theorem์ ๋ํ Application์ ์๋์์ ํ์ธํ ์ ์๋ค!