Three Sylow Theorems

2020-2학기, 대학에서 ‘현대대수1’ 수업을 듣고 공부한 바를 정리한 글입니다. 지적은 언제나 환영입니다 :)

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3가지 Isomorphism Threorem이 순한 맛이었다면, 3가지 Sylow Theorem은 매운 맛이다 ㅠㅠ

그나마 다행인 점은 Sylow Theorem에 대한 증명은 학부 수준을 벗어나서 수업 때 교수님이 증명하시진 않았다는 점이다 ㅠㅠ

그래도 Application은 여전히 어렵다 ㅠㅠ

Sylow Theorem들은 모두 유한군을 분석하는 도구로 사용된다. 그리고 소수 $p$를 아주 좋아한다

Sylow Theorem을 이용하면 유한군에서 위수에 대한 정보 만으로 유한군의 구조와 부분군들에 대해 알아낼 수 있다!!

Lagrange Theorem이 특정 위수의 부분군이 없음을 보이는 데에 유용했다면,
(Converse of Lagrange 때문에 Lagrange Thm으로 특정 위수의 부분군이 있음을 보이는 건 불가능하다.)

Sylow Theorem은 특정 위수의 부분군이 있음을 보이는 데에 유용하다!!

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$p$-group

Definition. $p$-group

Let $p$ be a prime number.

A group $G$ is called “$p$-group”,

if every elts has a power of $p$ order

p.s. $p$-group의 subgroup도 여전히 $p$-group이다!
(생각해보면, $p$-group의 원소를 모아 subgroup을 만들었으니 당연하긴 하다 ㅋㅋ)

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Theorem. (Cauchy)

Let $G$ be a finite group, and $p \mid \lvert G \rvert$.

Then, $G$ has an elt of order $p$.

수업 때 증명은 생-략하셨음!

Corollary.

Let $G$ be a finite group,

$G$ is a $p$-group $\iff$ $\lvert G \rvert$ is a power of $p$

($\impliedby$) Let $\lvert G \rvert = p^n$.

For $a \in G$, $\lvert a \rvert \mid \lvert G \rvert$,

then $\lvert a \rvert = p^{k} \quad (0 \le k \le n)$.

This means $G$ is a $p$-group.

($\implies$) Supp. $G$ is $p$-group.

Then, $p$ is the only prime divisor of $\lvert G \rvert$.

If there’s additional prime divisor, $p’ \ne p$,

then by Cauchy, $\exists$ an elt $a \in G$ s.t. $\lvert a \rvert = p’$.

then this mean $G$ is not $p$-group.

Therefore, $p$ is the only prime divisor of $\lvert G \rvert$.

This means $\lvert G \rvert = p^n$.

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Normalizer

Definition.

For $H \le G$, the normalizer of $H$ in $G$ is

\[N_G (H) := \{g \in G \mid gHg^{-1} = H\}\]

만약 $N_G(H) = G$라면, subgroup $H$는 normal subgroup이 된다!

Normalizer $N_G(H)$에 대한 성질들을 좀더 알아보자.

Properties. Normalizer $N_G(H)$

1. $H \trianglelefteq N_G(H)$

normalizer 정의가 $H$를 normal하게 만드는 원소들의 집합이므로 당연히 $H$는 $N_G(H)$에 normal subgroup이다.

2. $N_G(H) \le G$

$N_G(H)$가 subgroup의 정의를 만족하는지 확인해보면 된다.

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1st Sylow Theorem

Theorem. 1st Sylow Theorem

Let $\lvert G \rvert = p^n \cdot m$ where $n, m \in \mathbb{N}$ and $(m, p) = 1$.

Then,

1. $G$ contains subgroup of order $p^i \quad (0 \le i \le n)$.

• $p^0 = e$ : trivial subgroup
• $p^1$ : by Cauchy
• $p^2, \cdots p^n$ : by 1st Sylow Thm

2. Every “subgroup of order $p^i \quad (i<n)$” is a normal subgroup of a “subgroup of order $p^{i+1}$”.

즉, $\lvert H \rvert = p^i$인 subgp $H$에 대해 $H \trianglelefteq H’$인 normal subgroup이 $\lvert H’ \rvert = p^{i+1} = \lvert H \rvert \cdot p$를 갖고 존재함을 보장한다.

증명은 학부 과정을 상회하므로 생-략 한다.

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Sylow $p$-group

Definition. Sylow $p$-group

For $\lvert G \rvert < \infty$,

a “Sylow $p$-group $P$” is a maximal $p$-subgroup of $G$.

즉, $p$-subgroup인데 자기 자신을 포함하는 더 큰 $p$-subgroup이 없는 $p$-subgroup을 maximal subgroup이라고 하며, 이것을 “Sylow $p$-group”이라고 한다.

maximal $p$-subgroup = Sylow $p$-group

※ 어떤 Group이든 Sylow $p$-subgroup을 반드시 가진다!

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2nd Sylow Theorem

Theorem. 2nd Sylow Theorem

Let $P_1$, $P_2$ be two Sylow $p$-subgroup of finite group $G$.

Then, $P_1$ and $P_2$ are conjugate of each other.

즉,

\[P_1 = g{P_2}g^{-1} \quad (\textrm{for some} \; g \in G)\]

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3rd Sylow Theorem

Theorem. 3rd Sylow Theorem

If a prime $p$ divides $\lvert G \rvert$; $p \mid \lvert G \rvert$,

then the (# of Sylow $p$-subgroup) is congruent to 1 (mod $p$)

and it divides $\lvert G \rvert$.

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Sylow Theorem에 대한 Application은 아래에서 확인할 수 있다!

• Application 1
• Application 2