์„ ์ ๋ถ„๊ณผ ์ด์ค‘์ ๋ถ„์„ ์—ฐ๊ฒฐํ•˜๋Š” ์ •๋ฆฌ. ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์œผ๋กœ ์„ ์ ๋ถ„์„ ๊ณ„์‚ฐํ•  ์ˆ˜๋„ ์žˆ๊ณ , ๋ฐ˜๋Œ€๋กœ ์„ ์ ๋ถ„์œผ๋กœ ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์„ ๊ณ„์‚ฐํ•˜๋Š” ๊ฒƒ๋„ ๊ฐ€๋Šฅ. ๋„๋„› ๋ชจ์–‘์˜ ์˜์—ญ์„ ์„ ์ ๋ถ„ํ•˜๊ฑฐ๋‚˜ ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„ํ•˜๋Š” ๋ฐฉ๋ฒ•์— ๋Œ€ํ•ด ๐Ÿฉ

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๋ณต์ˆ˜์ „๊ณตํ•˜๊ณ  ์žˆ๋Š” ์ˆ˜ํ•™๊ณผ์˜ ์กธ์—…์‹œํ—˜์„ ์œ„ํ•ด ํ•™๋ถ€ ์ˆ˜ํ•™ ๊ณผ๋ชฉ๋“ค์„ ๋‹ค์‹œ ๊ณต๋ถ€ํ•˜๊ณ  ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ๋ฏธ์ ๋ถ„ํ•™ ํฌ์ŠคํŠธ ์ „์ฒด ๋ณด๊ธฐ

๋ฏธ์ 2์—์„œ ๊ฐ€์žฅ ์ค‘์š”ํ•œ ์ฑ•ํ„ฐ๊ฐ€ ์–ด๋””๋ƒ๊ณ  ๋ฌผ์œผ๋ฉด ๋ฐ”๋กœ โ€œ๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌโ€์™€ โ€œ์Šคํ† ์Šคํฌ ์ •๋ฆฌโ€๋‹ค. ์‚ฌ์‹ค์ƒ ์ง€๊ธˆ๊นŒ์ง€ ๋ฐฐ์šด ๋ฏธ์ 1๊ณผ ๋ฏธ์ 2์˜ ๋‚ด์šฉ์€ ๋ชจ๋‘ ์ด ์ •๋ฆฌ๋ฅผ ๋‹ค๋ฃจ๊ธฐ ์œ„ํ•œ ๋นŒ๋“œ์—…์— ๋ถˆ๊ณผํ–ˆ๋‹จ ๊ฒƒโ€ฆ ใ…‹ใ…‹ ๊ทธ๋งŒํผ ์ด ๋ถ€๋ถ„์ด ์ค‘์š”ํ•˜๊ณ , ์ด๊ฑธ ์ดํ•ดํ•˜๊ธฐ ์œ„ํ•ด ๊ทธ ๋งŽ์€ ๋‚ด์šฉ๋“ค์„ ๊ณต๋ถ€ํ•œ ๊ฑฐ๋ผ๋Š” ์‚ฌ์‹ค. ์—ฌ๊ธฐ๊นŒ์ง€ ์ดํ•ดํ•˜๊ธฐ๋ฅผ ํฌ๊ธฐํ•˜์ง€ ์•Š๊ณ  ์˜จ๊ฒŒ ๋ฟŒ๋“ฏํ•˜๊ธฐ๋„ ํ•˜๋‹คโ€ฆ ๐Ÿฅบ ์•”ํŠผ ์ค‘์š”ํ•œ ๋‚ด์šฉ์ด๊ธฐ ์ •์‹  ๋ฐ”์ง ์ฐจ๋ฆฌ๊ณ  ๋ณธ๋ก ์œผ๋กœ ใ„ฑใ„ฑ!

Green TheoremPermalink

๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ๋ฅผ ํ•œ๋งˆ๋””๋กœ ์š”์•ฝํ•˜๋ฉด ์•„๋ž˜์™€ ๊ฐ™๋‹ค.

์–ด๋–ค ํŠน๋ณ„ํ•œ ๋ฒกํ„ฐ ํ•จ์ˆ˜์— ๋Œ€ํ•ด, ๋ฒกํ„ฐ ์„ ์ ๋ถ„๊ณผ ์ด์ค‘์ ๋ถ„์„ ์—ฐ๊ฒฐํ•˜๋Š” ์ •๋ฆฌ.

์ข€๋” ์ •ํ™•ํžˆ ์ •์˜ํ•˜๋ฉด, ์•„๋ž˜ ๋‘ ์ ๋ถ„์„ ์—ฐ๊ฒฐํ•˜๋Š” ์ก๋ฆฌ๋‹ค.

  • simple closed curve C ์œ„์—์„œ์˜ ๋ฒกํ„ฐ ์„ ์ ๋ถ„
  • ๋™์ผํ•œ curve C๋กœ ์ •์˜ํ•œ ์˜์—ญ D์—์„œ์˜ ์ด์ค‘์ ๋ถ„

์ด๋ฅผ ์ •๋ฆฌ์˜ ํ˜•ํƒœ๋กœ ์„œ์ˆ ํ•˜๋ฉด ์•„๋ž˜์™€ ๊ฐ™๋‹ค.

Let C be a positively oriented, piecewise-smooth, simple closed curve in the plane.

Let D be the region bounded by C.

If P and Q have continuous partial derivatives on an open region that contains D, then

โˆซCFโ‹…dr=โˆซCPdx+Qdy=โˆฌD(โˆ‚Qโˆ‚xโˆ’โˆ‚Pโˆ‚y)dA

Curve OrientationPermalink

๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ๋ฅผ ๊ธฐ์ˆ ํ•œ ์œ„์˜ ๋ช…์ œ์—์„œ โ€œpositively orientedโ€๋ผ๋Š” ํ‘œํ˜„์ด ๋“ฑ์žฅํ•œ๋‹ค. ์ˆ˜ํ•™์—์„œ๋Š” Curve์˜ ๋ฐฉํ–ฅ์„ positive, negative๋กœ ์ •์˜ํ•˜๋Š”๋ฐ CCW ๋ฐฉํ–ฅ์„ positive orientation์œผ๋กœ ์„ค์ •ํ•œ๋‹ค.

CLP Calculus Textbook

positive orientation์„ CCW๋กœ ์„ค์ •ํ•˜๊ณ , TNB ์ขŒํ‘œ๋ฅผ ์žก์œผ๋ฉด, ๋ฒ•์„  ๋ฒกํ„ฐ N์ด ํ•ญ์ƒ ์ปค๋ธŒ ์•ˆ์ชฝ์œผ๋กœ ํ–ฅํ•˜๊ฒŒ ๋œ๋‹ค.

CLP Calculus Textbook

์š”๋ ‡๊ฒŒ ๋ง์ด๋‹ค!!

Curve BoundaryPermalink

๋˜, ์ˆ˜ํ•™์  ํ‘œ๊ธฐ๋กœ ์˜์—ญ D๋ฅผ ๊ฐ์‹ธํ•˜๋Š” positive oriented curve๋ฅผ ํŽธ๋ฏธ๋ถ„ ๊ธฐํ˜ธ๋ฅผ ์‚ฌ์šฉํ•ด ์•„๋ž˜์™€ ๊ฐ™์ด ํ‘œํ˜„ํ•œ๋‹ค.

โˆ‚D

์œ„์˜ ํ‘œ๊ธฐ๋ฅผ ์‚ฌ์šฉํ•ด ๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ๋ฅผ ๋‹ค์‹œ ์ •์˜ํ•˜๋ฉด ์•„๋ž˜์™€ ๊ฐ™๋‹ค.

โˆฌD(โˆ‚Qโˆ‚xโˆ’โˆ‚Pโˆ‚y)dA=โˆซโˆ‚DPdx+Qdy

Application of Green TheoremPermalink

๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ๋Š” ๊ฒฝ๊ณ„ ์œ„์—์„œ์˜ ๋ฒกํ„ฐ ์„ ์ ๋ถ„๊ณผ ๊ฒฝ๊ณ„๋กœ ๋งŒ๋“ค์–ด์ง€๋Š” ์˜์—ญ์˜ ์ด์ค‘์ ๋ถ„์„ ์—ฐ๊ฒฐํ•˜๋Š” ์ •๋ฆฌ์˜€๋‹ค. ์ด๋ฅผ ํ™œ์šฉํ•ด

  • ๋ฒกํ„ฐ ์„ ์ ๋ถ„์„ ๊ณ„์‚ฐํ•˜๊ธฐ ์œ„ํ•ด ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์„ ์ˆ˜ํ–‰ํ•œ๋‹ค.
  • ๋ฐ˜๋Œ€๋กœ ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์„ ๊ณ„์‚ฐํ•˜๊ธฐ ์œ„ํ•ด ๋ฒกํ„ฐ ์„ ์ ๋ถ„์„ ์ˆ˜ํ–‰ํ•œ๋‹ค.

์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์„ ๋ฒกํ„ฐ ์„ ์ ๋ถ„์œผ๋กœ ๊ณ„์‚ฐPermalink

Find the area enclosed by the ellipse

x2a2+y2b2=1

ํƒ€์›์˜ ๋„“์ด๋ฅผ ๊ตฌํ•˜๋Š” ๋ฌธ์ œ๋‹ค. ์ด๋ฅผ ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์œผ๋กœ ์ •์˜ํ•˜๋ฉด ์•„๋ž˜์™€ ๊ฐ™๋‹ค.

โˆฌD1dA

์ด๋ฅผ ๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ์˜ ๊ด€์ ์—์„œ ๋ณด๋ฉด, P, Q๊ฐ€ ์•„๋ž˜ ์กฐ๊ฑด์„ ๋งŒ์กฑํ•˜๋Š” ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์„ ์ˆ˜ํ–‰ํ•˜๋Š” ๊ฒƒ๊ณผ ๊ฐ™๋‹ค.

โˆ‚Qโˆ‚xโˆ’โˆ‚Pโˆ‚y=1

์œ„์˜ ๊ฒฝ์šฐ๋ฅผ ๋งŒ์กฑํ•˜๋Š” P, Q๋Š” ์—ฌ๋Ÿฌ ๊ฐ€์ง€ ๊ฒฝ์šฐ๊ฐ€ ํ•˜๋‹ค.

  1. P(x,y)=0,Q(x,y)=x
  2. P(x,y)=โˆ’y,Q(x,y)=0
  3. P(x,y)=โˆ’y/2,Q(x,y)=x/2

๋”ฐ๋ผ์„œ, ์•„๋ž˜์˜ ์‹์ด ์„ฑ๋ฆฝํ•œ๋‹ค.

A=โˆฎCxdy=โˆฎC(โˆ’y)dx=12โˆฎCxdyโˆ’ydx

์œ„์˜ 3๊ฐ€์ง€ ๋ฐฉ์‹์€ ์–ด๋–ค ๊ฑธ ์„ ํƒํ•ด๋„ ์ƒ๊ด€ ์—†๋‹ค ใ…Žใ…Ž (์ง์ ‘ ํ•ด๋ด„) ์ œ์ผ ์‰ฌ์šธ ๊ฒƒ ๊ฐ™์€, (1)๋ฒˆ ๋ฐฉ์‹์œผ๋กœ ํ’€์ดํ•ด๋ณด์ž.

๋งค๊ฐœํ™”์— ์˜ํ•ด x=acosโกt, y=bsinโกt์ด๋‹ค. ์ ๋ถ„์„ ์น˜ํ™˜ํ•˜๋ฉด,

A=โˆฎCxdy=โˆซ02ฯ€(acosโกt)(bcosโกt)dt=abโˆซ02ฯ€cos2โกtdt=abโˆซ02ฯ€cosโก2t+12dt=ab2ฯ€2=abฯ€

Not simply-connected ์˜์—ญ์—์„œ์˜ ์ ๋ถ„Permalink

๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ์˜ ๋ช…์ œ๋ฅผ ์ž˜ ์‚ดํŽด๋ณด๋ฉด, ๊ณก์„  C์— ๋Œ€ํ•œ ์กฐ๊ฑด์ด ์•„๋ž˜์™€ ๊ฐ™์ด ์ ํ˜€์žˆ๋‹ค.

positively oriented, piecewise-smooth, simple closed curve

์ฆ‰, ๊ณก์„ ์ด simply-connected์ธ ํ•„์š”๋Š” ์—†๋‹ค!!

CLP Calculus Textbook

๊ณก์„ ์ด ์š”๋ ‡๊ฒŒ โ€œ๋„๋„› ๋ชจ์–‘โ€œ์„ ์ด๋ฃจ๋”๋ผ๋„ ๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ๊ฐ€ ์„ฑ๋ฆฝํ•œ๋‹ค!! ์—ฐ์Šต๋ฌธ์ œ๋ฅผ ํ†ตํ•ด ๋„๋„› ํ˜•ํƒœ์˜ ์˜์—ญ์„ ์–ด๋–ป๊ฒŒ ์ ๋ถ„ํ•  ์ˆ˜ ์žˆ์„์ง€ ์‚ดํŽด๋ณด์ž.

(Problem from CLP Calculus Textbook.)

Evaluate

โˆฎCFโ‹…dr

where

F=โˆ’yi+xjx2+y2

and curve C is an unit circle

x(t)=cosโกty(t)=sinโกt

[์ž˜๋ชป๋œ ํ’€์ด] ๋จผ์ € ๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ๋ฅผ ์ž˜๋ชป ์‚ฌ์šฉํ•˜๋Š” ์‚ฌ๋ก€๋ถ€ํ„ฐ ์‚ดํŽด๋ณด์ž. ๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ์— ๋”ฐ๋ผ ๋ฒกํ„ฐ ์„ ์ ๋ถ„์„ ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์œผ๋กœ ๋ณ€ํ™˜ํ•˜์ž.

โˆฎCFโ‹…dr=โˆฌD(โˆ‚Qโˆ‚xโˆ’โˆ‚Pโˆ‚y)dA=โˆฌD(โˆ’x2+y2(x2+y2)2โˆ’(โˆ’x2+y2)(x2+y2)2)dA=0

์ฆ‰, ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์˜ ๊ฐ’์ด 0์ด๋ฏ€๋กœ, ๋ฒกํ„ฐ ์„ ์ ๋ถ„์˜ ๊ฐ’๋„ 0์ด๋‹คโ€ฆ?! ์ด ํ’€์ด๋Š” ์ž˜๋ชป๋˜์—ˆ๋‹ค. ๊ทธ ์ด์œ ๋Š” ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์—์„œ ์ ๋ถ„ ์˜์—ญ D ๋‚ด๋ถ€์— ์žˆ๋Š” ์›์  O์—์„œ ํ•จ์ˆ˜ F(x,y)๊ฐ€ ์ •์˜๋˜์ง€ ์•Š๊ธฐ ๋•Œ๋ฌธ์ด๋‹ค. ๋งˆ์ฐฌ๊ฐ€์ง€ ์ด์œ ๋กœ ์›์  O์—์„œ 1์ฐจ ํŽธ๋ฏธ๋ถ„ โˆ‚P, โˆ‚Q๋„ ์ •์˜๋˜์ง€ ์•Š๊ธฐ ๋•Œ๋ฌธ์—, ๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ๋ฅผ ์ ์šฉํ•˜๊ธฐ ์œ„ํ•œ ์ „์ œ ์กฐ๊ฑด์„ ์œ„๋ฐ˜ํ•œ๋‹ค.

[์˜ฌ๋ฐ”๋ฅธ ํ’€์ด] ์ด๋Ÿฐ ๊ฒฝ์šฐ, ์ ๋ถ„์„ ๊ณ„์‚ฐํ•˜๋ผ๋ฉด โ€˜์ •์งํ•˜๊ฒŒโ€™ ๋ฒกํ„ฐ ์„ ์ ๋ถ„ ๊ฐ’์„ ๊ณ„์‚ฐํ•˜๋Š” ์ˆ˜ ๋ฐ–์— ์—†๋‹ค^^

โˆฎCFโ‹…dr=โˆฎCPdx+Qdy=โˆซ02ฯ€((โˆ’sinโกtโ‹…โˆ’sinโกt)+(cosโกtโ‹…cosโกt))dt=โˆซ02ฯ€1dt=2ฯ€

๋”ฐ๋ผ์„œ ์œ„์˜ ์„ ์ ๋ถ„ ๊ฐ’์€ 2ฯ€์ด๋‹ค. ๊ทธ๋Ÿฐ๋ฐ, ์ด๋ฒˆ์—๋Š” ์•„๋ž˜์˜ ๋ฌธ์ œ๋ฅผ ๋˜ ํ’€์–ด๋ณด์ž.


With same vector function, show that โˆฎCFโ‹…dr=2ฯ€ for every positively oriented simple closed curve that encloses the origin O.

์ด๋ฒˆ์—๋Š” ์›์ ์„ ํฌํ•จํ•˜๋Š” โ€œ๋ชจ๋“ โ€ ๋‹ซํžŒ ์ปค๋ธŒ์—์„œ ์„ ์ ๋ถ„ ๊ฐ’์ด 2ฯ€์ž„์„ ๋ณด์—ฌ์•ผ ํ•œ๋‹ค. ์ด ๋ฌธ์ œ๋ฅผ ํ’€๊ธฐ ์œ„ํ•ด์„  ์•„๋ž˜์™€ ๋„๋„› ๋ชจ์–‘์˜ ์˜์—ญ์„ ์ƒ์ƒํ•ด์•ผ ํ•œ๋‹ค.

CLP Calculus Textbook

โˆ’Ca๋Š” ์›์ ์„ ์ค‘์‹ฌ์œผ๋กœ ํ•˜๋Š” unit circle์ด๋‹ค.

์ด์ „๊ณผ ๋‹ฌ๋ฆฌ ์š”๋Ÿฐ ์˜์—ญ์—์„œ๋Š” ์ ๋ถ„์ด ๊ฐ€๋Šฅํ•˜๋‹ค. ์›์ ์ด ํฌํ•จ๋˜์–ด ์žˆ์ง€ ์•Š๊ธฐ ๋•Œ๋ฌธ์— F์™€ โˆ‚P, โˆ‚Q๊ฐ€ ์ •์˜๋˜๊ธฐ ๋•Œ๋ฌธ ใ…Žใ…Ž ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ  ์ด์— ๋Œ€ํ•œ ์ ๋ถ„์‹์˜ ๊ฐ’์€ 0์ด๋ž€๊ฑด ์ด๋ฏธ ํ™•์ธํ•˜์˜€๋‹ค.

โˆฌD(โˆ‚Qโˆ‚xโˆ’โˆ‚Pโˆ‚y)dA=0

๊ทธ๋ฆฐ ์ •๋ฆฌ์˜ ํ‘œ๊ธฐ์— ๋”ฐ๋ผ ์ ๋ถ„ ์˜์—ญ D์˜ ๊ฒฝ๊ณ„์— ๋Œ€ํ•œ ์„ ์ ๋ถ„์œผ๋กœ ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„์„ ๋ฐ”๊ฟ€ ์ˆ˜ ์žˆ๋‹ค. ์ด๋•Œ, ๊ฒฝ๊ณ„ โˆ‚D๋Š” CCW์˜ ์ปค๋ธŒ C์™€ CW ๋ฐฉํ–ฅ์˜ โˆ’Ca๋กœ ๊ตฌ์„ฑ๋œ๋‹ค.

โˆ‚D=C+(โˆ’Ca)

์ด์ œ ์œ„์˜ ์ด์ค‘ ์ ๋ถ„ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ์„ ์ ๋ถ„์œผ๋กœ ๋ฐ”๊ฟ”์„œ ๊ธฐ์ˆ ํ•˜๋ฉด,

โˆฌD(โˆ‚Qโˆ‚xโˆ’โˆ‚Pโˆ‚y)dA=โˆฎCFโ‹…dr+โˆฎโˆ’CaFโ‹…dr=0

์„ ์ ๋ถ„์— ๋Œ€ํ•œ ์ ๋ถ„๋งŒ ๋”ฐ๋กœ ๋–ผ์–ด์„œ ๋ณด๋ฉด,

โˆฎCFโ‹…dr+โˆฎโˆ’CaFโ‹…dr=0โˆฎCFโ‹…drโˆ’โˆฎCaFโ‹…dr=0โˆฎCFโ‹…dr=โˆฎCaFโ‹…dr=2ฯ€

์ฆ‰, ์–ด๋–ค ๋‹ซํžŒ ๊ณก์„ ์— ๋Œ€ํ•œ ์„ ์ ๋ถ„๋„ ๋ชจ๋‘ unit circle ์œ„์—์„œ์˜ ์„ ์ ๋ถ„ ๊ฐ’๊ณผ ๋™์ผํ•œ 2ฯ€๊ฐ€ ๋œ๋‹ค. โ—ผ

Partition a RegionPermalink

์œ„์˜ ๊ฒฝ์šฐ๋Š” ๋„๋„› ๋ชจ์–‘ ์˜์—ญ์— ๋Œ€ํ•œ ์„ ์ ๋ถ„์„ ์ด์ค‘์ ๋ถ„์œผ๋กœ ๋ฐ”๊ฟ”์„œ ํ•ด๊ฒฐํ•œ ๊ฒฝ์šฐ์ด๋‹ค. ๊ทธ๋Ÿฐ๋ฐ, ๋„๋„› ๋ชจ์–‘ ์ ๋ถ„์€ ์•„๋ž˜์™€ ๊ฐ™์ด 2๊ฐœ์˜ ์ปค๋ธŒ๋กœ ๋ถ„ํ• ํ•˜์—ฌ ์„ ์ ๋ถ„์„ ์ˆ˜ํ–‰ํ•  ์ˆ˜๋„ ์žˆ๋‹ค.

CLP Calculus Textbook

์š”๋ ‡๊ฒŒ ๋„๋„› ์˜์—ญ์„ ์œ„ยท์•„๋ž˜๋กœ ๋ถ„ํ• ํ•˜์—ฌ 2๊ฐœ์˜ ์ปค๋ธŒ๋กœ ๋ฐ”๊พธ์–ด ์„ ์ ๋ถ„ ํ•˜๋Š” ๊ฒƒ๋„ ๊ฐ€๋Šฅํ•˜๋‹ค.

๋งบ์Œ๋งPermalink

๋ญ”๊ฐ€ ์‘์šฉ๋ณต์†Œํ•จ์ˆ˜๋ก (MATH210) ์ˆ˜์—…์—์„œ ์ด๋Ÿฐ ์ ๋ถ„์„ ๋งŽ์ด ํ–ˆ๋˜ ๊ธฐ์–ต์ด ์žˆ๋‹ค. ๊ทธ๋•Œ๋„ ๋‹ซํžŒ ์˜์—ญ์— ๋Œ€ํ•ด์„œ ์ปค๋ธŒ์˜ ๋ชจ์–‘์— ์ƒ๊ด€ ์—†์ด ์ ๋ถ„๊ฐ’์ด ๊ฐ™์€ ๊ทธ๋Ÿฐ ์ ๋ถ„๋“ค์„ ๋งŽ์ด ๋งŒ๋‚ฌ๋˜ ๊ธฐ์–ต์ด ๋‚œ๋‹ค. ๋ฏธ์ 2 ๋“ค์„ ๋•Œ, ์—ด์‹ฌํžˆ ๋“ค์—ˆ์œผ๋ฉด ์‘๋ณตํ•จ์ด ์ข€๋” ์‰ฌ์› ์œผ๋ ค๋ƒ ใ… ใ… 

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