Green Theorem
๋ณต์์ ๊ณตํ๊ณ ์๋ ์ํ๊ณผ์ ์กธ์ ์ํ์ ์ํด ํ๋ถ ์ํ ๊ณผ๋ชฉ๋ค์ ๋ค์ ๊ณต๋ถํ๊ณ ์์ต๋๋ค. ๋ฏธ์ ๋ถํ ํฌ์คํธ ์ ์ฒด ๋ณด๊ธฐ
๋ฏธ์ 2์์ ๊ฐ์ฅ ์ค์ํ ์ฑํฐ๊ฐ ์ด๋๋๊ณ ๋ฌผ์ผ๋ฉด ๋ฐ๋ก โ๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌโ์ โ์คํ ์คํฌ ์ ๋ฆฌโ๋ค. ์ฌ์ค์ ์ง๊ธ๊น์ง ๋ฐฐ์ด ๋ฏธ์ 1๊ณผ ๋ฏธ์ 2์ ๋ด์ฉ์ ๋ชจ๋ ์ด ์ ๋ฆฌ๋ฅผ ๋ค๋ฃจ๊ธฐ ์ํ ๋น๋์ ์ ๋ถ๊ณผํ๋จ ๊ฒโฆ ใ ใ ๊ทธ๋งํผ ์ด ๋ถ๋ถ์ด ์ค์ํ๊ณ , ์ด๊ฑธ ์ดํดํ๊ธฐ ์ํด ๊ทธ ๋ง์ ๋ด์ฉ๋ค์ ๊ณต๋ถํ ๊ฑฐ๋ผ๋ ์ฌ์ค. ์ฌ๊ธฐ๊น์ง ์ดํดํ๊ธฐ๋ฅผ ํฌ๊ธฐํ์ง ์๊ณ ์จ๊ฒ ๋ฟ๋ฏํ๊ธฐ๋ ํ๋คโฆ ๐ฅบ ์ํผ ์ค์ํ ๋ด์ฉ์ด๊ธฐ ์ ์ ๋ฐ์ง ์ฐจ๋ฆฌ๊ณ ๋ณธ๋ก ์ผ๋ก ใฑใฑ!
Green TheoremPermalink
๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌ๋ฅผ ํ๋ง๋๋ก ์์ฝํ๋ฉด ์๋์ ๊ฐ๋ค.
์ด๋ค ํน๋ณํ ๋ฒกํฐ ํจ์์ ๋ํด, ๋ฒกํฐ ์ ์ ๋ถ๊ณผ ์ด์ค์ ๋ถ์ ์ฐ๊ฒฐํ๋ ์ ๋ฆฌ.
์ข๋ ์ ํํ ์ ์ํ๋ฉด, ์๋ ๋ ์ ๋ถ์ ์ฐ๊ฒฐํ๋ ์ก๋ฆฌ๋ค.
- simple closed curve
์์์์ ๋ฒกํฐ ์ ์ ๋ถ - ๋์ผํ curve
๋ก ์ ์ํ ์์ญ ์์์ ์ด์ค์ ๋ถ
์ด๋ฅผ ์ ๋ฆฌ์ ํํ๋ก ์์ ํ๋ฉด ์๋์ ๊ฐ๋ค.
Let
Let
If
Curve OrientationPermalink
๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌ๋ฅผ ๊ธฐ์ ํ ์์ ๋ช ์ ์์ โpositively orientedโ๋ผ๋ ํํ์ด ๋ฑ์ฅํ๋ค. ์ํ์์๋ Curve์ ๋ฐฉํฅ์ positive, negative๋ก ์ ์ํ๋๋ฐ CCW ๋ฐฉํฅ์ positive orientation์ผ๋ก ์ค์ ํ๋ค.
positive orientation์ CCW๋ก ์ค์ ํ๊ณ , TNB ์ขํ๋ฅผ ์ก์ผ๋ฉด, ๋ฒ์ ๋ฒกํฐ
์๋ ๊ฒ ๋ง์ด๋ค!!
Curve BoundaryPermalink
๋, ์ํ์ ํ๊ธฐ๋ก ์์ญ
์์ ํ๊ธฐ๋ฅผ ์ฌ์ฉํด ๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌ๋ฅผ ๋ค์ ์ ์ํ๋ฉด ์๋์ ๊ฐ๋ค.
Application of Green TheoremPermalink
๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌ๋ ๊ฒฝ๊ณ ์์์์ ๋ฒกํฐ ์ ์ ๋ถ๊ณผ ๊ฒฝ๊ณ๋ก ๋ง๋ค์ด์ง๋ ์์ญ์ ์ด์ค์ ๋ถ์ ์ฐ๊ฒฐํ๋ ์ ๋ฆฌ์๋ค. ์ด๋ฅผ ํ์ฉํด
- ๋ฒกํฐ ์ ์ ๋ถ์ ๊ณ์ฐํ๊ธฐ ์ํด ์ด์ค ์ ๋ถ์ ์ํํ๋ค.
- ๋ฐ๋๋ก ์ด์ค ์ ๋ถ์ ๊ณ์ฐํ๊ธฐ ์ํด ๋ฒกํฐ ์ ์ ๋ถ์ ์ํํ๋ค.
์ด์ค ์ ๋ถ์ ๋ฒกํฐ ์ ์ ๋ถ์ผ๋ก ๊ณ์ฐPermalink
Find the area enclosed by the ellipse
ํ์์ ๋์ด๋ฅผ ๊ตฌํ๋ ๋ฌธ์ ๋ค. ์ด๋ฅผ ์ด์ค ์ ๋ถ์ผ๋ก ์ ์ํ๋ฉด ์๋์ ๊ฐ๋ค.
์ด๋ฅผ ๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌ์ ๊ด์ ์์ ๋ณด๋ฉด,
์์ ๊ฒฝ์ฐ๋ฅผ ๋ง์กฑํ๋
๋ฐ๋ผ์, ์๋์ ์์ด ์ฑ๋ฆฝํ๋ค.
์์ 3๊ฐ์ง ๋ฐฉ์์ ์ด๋ค ๊ฑธ ์ ํํด๋ ์๊ด ์๋ค ใ ใ (์ง์ ํด๋ด) ์ ์ผ ์ฌ์ธ ๊ฒ ๊ฐ์, (1)๋ฒ ๋ฐฉ์์ผ๋ก ํ์ดํด๋ณด์.
๋งค๊ฐํ์ ์ํด
Not simply-connected ์์ญ์์์ ์ ๋ถPermalink
๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌ์ ๋ช
์ ๋ฅผ ์ ์ดํด๋ณด๋ฉด, ๊ณก์
positively oriented, piecewise-smooth, simple closed curve
์ฆ, ๊ณก์ ์ด simply-connected์ธ ํ์๋ ์๋ค!!
๊ณก์ ์ด ์๋ ๊ฒ โ๋๋ ๋ชจ์โ์ ์ด๋ฃจ๋๋ผ๋ ๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌ๊ฐ ์ฑ๋ฆฝํ๋ค!! ์ฐ์ต๋ฌธ์ ๋ฅผ ํตํด ๋๋ ํํ์ ์์ญ์ ์ด๋ป๊ฒ ์ ๋ถํ ์ ์์์ง ์ดํด๋ณด์.
[์๋ชป๋ ํ์ด] ๋จผ์ ๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌ๋ฅผ ์๋ชป ์ฌ์ฉํ๋ ์ฌ๋ก๋ถํฐ ์ดํด๋ณด์. ๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌ์ ๋ฐ๋ผ ๋ฒกํฐ ์ ์ ๋ถ์ ์ด์ค ์ ๋ถ์ผ๋ก ๋ณํํ์.
์ฆ, ์ด์ค ์ ๋ถ์ ๊ฐ์ด 0์ด๋ฏ๋ก, ๋ฒกํฐ ์ ์ ๋ถ์ ๊ฐ๋ 0์ด๋คโฆ?! ์ด ํ์ด๋ ์๋ชป๋์๋ค. ๊ทธ ์ด์ ๋ ์ด์ค ์ ๋ถ์์ ์ ๋ถ ์์ญ
[์ฌ๋ฐ๋ฅธ ํ์ด] ์ด๋ฐ ๊ฒฝ์ฐ, ์ ๋ถ์ ๊ณ์ฐํ๋ผ๋ฉด โ์ ์งํ๊ฒโ ๋ฒกํฐ ์ ์ ๋ถ ๊ฐ์ ๊ณ์ฐํ๋ ์ ๋ฐ์ ์๋ค^^
๋ฐ๋ผ์ ์์ ์ ์ ๋ถ ๊ฐ์
With same vector function, show that
์ด๋ฒ์๋ ์์ ์ ํฌํจํ๋ โ๋ชจ๋ โ ๋ซํ ์ปค๋ธ์์ ์ ์ ๋ถ ๊ฐ์ด
์ด์ ๊ณผ ๋ฌ๋ฆฌ ์๋ฐ ์์ญ์์๋ ์ ๋ถ์ด ๊ฐ๋ฅํ๋ค. ์์ ์ด ํฌํจ๋์ด ์์ง ์๊ธฐ ๋๋ฌธ์
๊ทธ๋ฆฐ ์ ๋ฆฌ์ ํ๊ธฐ์ ๋ฐ๋ผ ์ ๋ถ ์์ญ
์ด์ ์์ ์ด์ค ์ ๋ถ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ์ ์ ๋ถ์ผ๋ก ๋ฐ๊ฟ์ ๊ธฐ์ ํ๋ฉด,
์ ์ ๋ถ์ ๋ํ ์ ๋ถ๋ง ๋ฐ๋ก ๋ผ์ด์ ๋ณด๋ฉด,
์ฆ, ์ด๋ค ๋ซํ ๊ณก์ ์ ๋ํ ์ ์ ๋ถ๋ ๋ชจ๋ unit circle ์์์์ ์ ์ ๋ถ ๊ฐ๊ณผ ๋์ผํ
Partition a RegionPermalink
์์ ๊ฒฝ์ฐ๋ ๋๋ ๋ชจ์ ์์ญ์ ๋ํ ์ ์ ๋ถ์ ์ด์ค์ ๋ถ์ผ๋ก ๋ฐ๊ฟ์ ํด๊ฒฐํ ๊ฒฝ์ฐ์ด๋ค. ๊ทธ๋ฐ๋ฐ, ๋๋ ๋ชจ์ ์ ๋ถ์ ์๋์ ๊ฐ์ด 2๊ฐ์ ์ปค๋ธ๋ก ๋ถํ ํ์ฌ ์ ์ ๋ถ์ ์ํํ ์๋ ์๋ค.
์๋ ๊ฒ ๋๋ ์์ญ์ ์ยท์๋๋ก ๋ถํ ํ์ฌ 2๊ฐ์ ์ปค๋ธ๋ก ๋ฐ๊พธ์ด ์ ์ ๋ถ ํ๋ ๊ฒ๋ ๊ฐ๋ฅํ๋ค.
๋งบ์๋งPermalink
๋ญ๊ฐ ์์ฉ๋ณต์ํจ์๋ก (MATH210) ์์ ์์ ์ด๋ฐ ์ ๋ถ์ ๋ง์ด ํ๋ ๊ธฐ์ต์ด ์๋ค. ๊ทธ๋๋ ๋ซํ ์์ญ์ ๋ํด์ ์ปค๋ธ์ ๋ชจ์์ ์๊ด ์์ด ์ ๋ถ๊ฐ์ด ๊ฐ์ ๊ทธ๋ฐ ์ ๋ถ๋ค์ ๋ง์ด ๋ง๋ฌ๋ ๊ธฐ์ต์ด ๋๋ค. ๋ฏธ์ 2 ๋ค์ ๋, ์ด์ฌํ ๋ค์์ผ๋ฉด ์๋ณตํจ์ด ์ข๋ ์ฌ์ ์ผ๋ ค๋ ใ ใ