Uniform Distribution

“확률과 통계(MATH230)” 수업에서 배운 것과 공부한 것을 정리한 포스트입니다. 전체 포스트는 Probability and Statistics에서 확인하실 수 있습니다 🎲

시리즈: Continuous Probability Distributions

1. Uniform Distribution 👀
2. Normal Distribution
3. Exponential Distribution
4. Gamma Distribution
5. Chi-square Distribution
6. Beta Distribution
7. Log-normal Distribution
8. Weibull Distribution (optional)

Uniform Distribution

Definition. Uniform Distribution

We say that $X$ is a <uniform RV> on $[a, b]$ if its pdf $f(x)$ is given by

\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & x \in (a, b) \\ \quad 0 & \text{else} \end{cases}\]

이런 <Uniform RV> $X$를 $X \sim \text{Unif}(a, b)$라고 표기한다.

cdf $F(x)$를 구해보면,

\[F(x) = \int^x_{\infty} f(t) dt = \begin{cases} \quad 0 & \text{if } x < a \\ \dfrac{x-a}{b-a} & \text{if } a \le x < b \\ \quad 1 & \text{if } x \ge b \end{cases}\]

평균 $E[X]$는 $\dfrac{a+b}{2}$, 분산 $\text{Var}(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$이다. 천천히 손으로 유도해보면 쉽게 구할 수 잇으니 여기서 과정을 기술하지는 않겠다.

If $U \sim \text{Unif}(0, 1)$, then $X := aU + b \sim \text{Unif}(b, a + b)$.

If $X \sim \text{Unif}(a, b)$, then $U := \dfrac{X-a}{b-a} \sim \text{Unif}(0, 1)$.

---

이어지는 포스트에서는 좀더 다양하고, 엄청난 분포들을 만나게 된다.

• Exponential Distribution
• Gamma Distribution
• Chi-square, Beta and Log-normal Distribution