Chi-square Distribution

“확률과 통계(MATH230)” 수업에서 배운 것과 공부한 것을 정리한 포스트입니다. 전체 포스트는 Probability and Statistics에서 확인하실 수 있습니다 🎲

시리즈: Continuous Probability Distributions

1. Uniform Distribution
2. Normal Distribution
3. Exponential Distribution
4. Gamma Distribution
5. Chi-square Distribution 👀
6. Beta Distribution
7. Log-normal Distribution
8. Weibull Distribution (optional)

선행 개념으로 Gamma Distribution에 대해 알고 있어야 한다.

\[f(x; \alpha, \beta) = \begin{cases} C_{\alpha, \beta} \cdot x^{\alpha-1} e^{-\frac{x}{\beta}} & \text{for } x > 0 \\ \quad 0 & \text{else} \end{cases}\] \[C_{\alpha, \beta} = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^{\alpha}}\]

Chi-square Distribution

Definition. Chi-square Distribution

A RV $X$ is called a <Chi-square RV> with $n$ degrees of freedom, denoted as $X \sim \chi^2(n)$,
if it has a Gamma distribution with $\alpha = n/2$ and $\beta=2$.

That is, its pdf is given by

\[f(x; n/2, 2) = \frac{1}{\Gamma(n/2) \cdot 2^{n/2}} \cdot x^{n/2 - 1} \cdot e^{-x/2}\] \[\chi^2(n) = \text{Gamma}\left(\frac{n}{2}, 2\right)\]

Remark.

1. If $Z \sim N(0, 1)$, then $Z^2 \sim \chi^2(1)$.

proof.

For $Z \sim N(0, 1)$, let $Y = Z^2$.

Let’s see cdf $P(Y \le y)$,

\[\begin{aligned} F(y) &= P(Y \le y) = P(Z^2 \le y) \\ &= P(-\sqrt{y} \le Z \le \sqrt{y}) \end{aligned}\]

그럼 이제 정규분포 $Z$에서의 확률을 구하는 것이므로 적분식을 구성하면,

\[\begin{aligned} \int^{\sqrt{y}}_{-\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz &= 2 \int^{\sqrt{y}}_{0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \end{aligned}\]

위의 과정에서는 정규분포의 우함수 특성을 사용한 것이다. 위의 식에서 $z = \sqrt{x}$로 치환적분을 진행해보자.

\[z = \sqrt{x} \iff dz = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx\]

그리고 적분식에 대입하면,

\[\begin{aligned} 2 \int^{\sqrt{y}}_{0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cancel{2} \int^y_0 \frac{1}{\cancel{2}\sqrt{x}} e^{-\frac{x}{2}} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^y_0 x^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{x}{2}} dx \end{aligned}\]

즉, $Y = Z^2$의 cdf는

\[F(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^y_0 x^{\frac{1}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}} dx\]

이다. 이제 pdf를 구하기 위해 양변을 미분하면,

\[\begin{aligned} f(y) = \frac{d}{dy} F(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{\frac{1}{2} - 1} e^{-\frac{y}{2}} \end{aligned}\]

이때, 감마함수 $\Gamma(1/2)$는 $\sqrt{\pi}$의 값을 갖는다. 따라서,

\[\begin{aligned} f(y) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{\frac{1}{2} - 1} e^{-\frac{y}{2}} \\ &= \frac{1}{\Gamma(1/2) \cdot 2^{\frac{1}{2}}} \cdot y^{\frac{1}{2} - 1} e^{-\frac{y}{2}} \end{aligned}\]

이것은 곧, 감마 분포 $\text{Gamma}(1/2, 2)$의 pdf와 같다! 따라서,

\[\left(Z(0, 1)\right)^2 \overset{D}{=} \text{Gamma}(1/2, 2) \overset{D}{=} \chi^2(1)\]

2. If $X \sim \chi^2(n)$, then

• $E[X] = n$
• $\text{Var}(X) = 2n$

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맺음말

이어지는 포스트에서는 <Weibull Distribution>을 통해 <결함률; Failure rate>와 <신뢰도; Reliability>을 모델링한다. 이 부분은 정규 수업에서는 소개만 하고 넘어간 부분이기 때문에 관심이 있거나 꼭 필요한게 아니라면 건너 뛰어도 괜찮다.

👉 Weibull Distribution (Optional)