Log-normal Distribution

“확률과 통계(MATH230)” 수업에서 배운 것과 공부한 것을 정리한 포스트입니다. 전체 포스트는 Probability and Statistics에서 확인하실 수 있습니다 🎲

시리즈: Continuous Probability Distributions

1. Uniform Distribution
2. Normal Distribution
3. Exponential Distribution
4. Gamma Distribution
5. Chi-square Distribution
6. Beta Distribution
7. Log-normal Distribution 👀
8. Weibull Distribution (optional)

선행 개념으로 Gamma Distribution에 대해 알고 있어야 한다.

\[f(x; \alpha, \beta) = \begin{cases} C_{\alpha, \beta} \cdot x^{\alpha-1} e^{-\frac{x}{\beta}} & \text{for } x > 0 \\ \quad 0 & \text{else} \end{cases}\] \[C_{\alpha, \beta} = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^{\alpha}}\]

Log-normal Distribution

Definition.

A RV $X$ is called a <log-normal RV> if $\log X \sim N(\mu, \sigma^2)$. We denote $X \sim \text{LN}(\mu, \sigma^2)$.

즉, RV $X$에 log를 취한 것이 normal distribution이 된다면, “log-normal”이라고 부르는 것이다.

Remark.

1. $X := e^Y$

If $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ and $X := e^Y$, then $X \sim \text{LN}(\mu, \sigma^2)$.

2. Expectation & Variance

• $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$
• $\text{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1)\cdot e^{2\mu + \sigma^2}$

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맺음말

이어지는 포스트에서는 <Weibull Distribution>을 통해 <결함률; Failure rate>와 <신뢰도; Reliability>을 모델링한다. 이 부분은 정규 수업에서는 소개만 하고 넘어간 부분이기 때문에 관심이 있거나 꼭 필요한게 아니라면 건너 뛰어도 괜찮다.

👉 Weibull Distribution (Optional)