Exponential Distribution

“확률과 통계(MATH230)” 수업에서 배운 것과 공부한 것을 정리한 포스트입니다. 전체 포스트는 Probability and Statistics에서 확인하실 수 있습니다 🎲

시리즈: Continuous Probability Distributions

1. Uniform Distribution
2. Normal Distribution
3. Exponential Distribution 👀
4. Gamma Distribution
5. Chi-square Distribution
6. Beta Distribution
7. Log-normal Distribution
8. Weibull Distribution (optional)

이번 포스트에서는 포아송 프로세스와도 관련있는 <Exponential Distribution>에 대해 살펴본다!

Exponential Distribution

먼저 분포에 대한 식을 먼저 제시하고, 그 상황과 의미를 살펴보자.

Definition. Exponential Distribution

Let $\lambda >0$, we say that $X$ has an <exponential distribution> with parameter $\lambda$ if it has pdf $f(x)$ as

\[f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{for} \; x > 0\\ \quad 0 & \text{else} \end{cases}\]

, and we denote such RV $X$ as $X \sim \text{EXP}(\lambda)$.

Remark.

1. The cdf of $X$ is given by

\[\begin{aligned} P(X \le x) &= 1 - P(X > x) \\ &= 1 - e^{-\lambda x} \quad \text{for} \; x >0 \end{aligned}\]

이때 위의 cdf 식에서 주목할 점은 tail probability인 $P(X > x)$이다. <Exponential Distribution>의 경우, $P(X > x)$가 $P(X > x) = e^{-\lambda x}$로 계산됨에 주목하자. EXP에 대한 해설은 여기서부터 시작된다.

EXP는 <Poisson Process>의 상황에서부터 비롯된다. 먼저 <Poisson Distribution>은 $X$: [어떤 사건이 발생하는 횟수]를 대표하며, 그 함수는 아래와 같다.

\[f(x) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}\]

만약, <Poisson Process> $\{ N(t) \}$에 대해 생각한다면, $t$ 시간까지 도착한 사건의 숫자인 $N(t)$는 포아송 분포 $N(t) \sim \text{POI}(\lambda t)$를 따른다.

이런 상황을 생각해보자. “어떤 사건이 처음으로 발생하기 까지 걸린 시간”을 RV $T$라고 해보자. 우리가 $P(T > t)$ 즉, 어떤 사건이 $T=t$ 시간 이후에 발생할 확률을 구한다고 해보자. 이것을 Poisson Process의 관점에서 해석하면, $T=t$ 시간까지 어떤 사건도 일어나지 않은 상태, 즉 $N(t) = 0$인 상황이다. 우리는 $N(t)$에 대한 pdf를 알기 때문에 이것을 확률로 표현하면,

\[P(N(t) = 0) = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^0}{0!} = e^{-\lambda t}\]

가 된다. 즉, $P(T > t) = P(N(t) = 0) = e^{-\lambda t}$인 셈이다! 🤩

우리가 구한 $P(T >t)$는 $T$에 대한 tail probability이다. 그래서 이것을 cdf의 형태로 바꿔주면,

\[P(T \le t) = 1 - P(T > t) = 1 - e^{-\lambda t}\]

이다. 우리가 cdf를 알고 있으니, 미분을 통해 pdf도 구할 수 있다.

\[f(t) = \frac{d}{dt} P(T \le t) = \frac{d}{dt} (1 - e^{-\lambda t}) = \lambda e^{-\lambda t}\]

익숙한 형태이지 않은가?? 바로 우리가 정의한 <Exponential Distribution>이다!! 😎

즉, EXP는 어떤 사건이 처음으로 일어날 시간에 대한 확률 분포라고 할 수 있다!

<Exponential Distribution>은 $\lambda$, $\beta$ 두 가지 형태로 기술할 수 있다. 이때, $\lambda$는 Poisson Process에서 유래한 것으로 Time Unit(=interval) 당 발생하는 Event의 평균적인 횟수를 의미한다. EXP는 $\beta$로도 모델링할 수 있는데, 이때 $\beta$는 $\lambda$의 역수(reciprocol)이다. 따라서, $\beta$는 첫 Event가 발생하는게 걸리는 평균적인 시간을 의미한다.

\[X \sim \text{EXP}(\lambda) \iff f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\]

• $\lambda$는 Unit time 동안 Event가 일어날 평균 횟수를 의미한다.

\[X \sim \text{EXP}(\beta) \iff f(x) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta}\]

• $\lambda$의 역수인 $\beta$는 한 번의 Event가 일어날 평균 시간을 의미한다.

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2. If $X \sim \text{EXP}(1)$, then $Y := \dfrac{X}{\lambda} \sim \text{EXP}(\lambda)$.

\[P(Y > y) = P(\frac{X}{\lambda} > y) = P(X > \lambda y) = e^{-\lambda y}\]

본인은 위의 상황을 (minute - second) 변환을 바탕으로 이해했다. 만약 $X$가 분 단위에서 처음 도착하는 버스의 시간을 모델링하고, 그 때의 parameter가 $\lambda = 1$라고 하자. 우리는 이것을 초 단위인 $60X$로 변환할 수 있다. 이때의 tail probability는

\[P(60X > x) = P(X > x/60) = e^{- x/60}\]

따라서, $60X \sim \text{EXP}(1/60)$이 된다. 이것은 $60X$에서 $\lambda$가 $\lambda = 1/60$이 됨을 의미한다. 이때, $\lambda$는 Poisson Process의 parameter로, Time Unit 당 도착하는 버스의 수를 모델링한다. 따라서 1초 당 평균적으로 1/60 대의 버스가 도착함을 의미한다. 이것을 $\beta = 1 / \lambda$로 해석하면, 버스가 한번 도착하는 시간이 평균적으로 60초가 됨을 의미한다!

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3. (Memoryless Property) 우리는 앞서 어떤 사건이 처음으로 발행하는 시행 횟수 $X$를 모델링한 <Geometric Distribution>을 살펴본 적이 있다. 어떤 분포가 <Memoryless Property>를 가진다면, 아래의 식을 만족한다.

\[P(X > a + t \mid X >a) = P(X > t)\]

EXP가 위의 Memoryless Property를 가지는지 확인해보자.

\[\begin{aligned} P(X > a + t \mid X > a) &= \frac{P(X > a + t)}{P(X > a)} \\ &= \frac{e^{-\lambda (a+t)x}}{e^{-\lambda a x}} \\ &= e^{-\lambda tx} = P(X > t) \end{aligned}\]

따라서, EXP 역시 Memoryless Property를 가진다!

<Geometric Distribution>으로부터 <Exponential Distribution>을 유도해볼 수도 있는데, 아래의 펼쳐보기에 기술하였다.

펼쳐보기

Random Variable $X_n$을 $1/n$초마다 버스가 왔는지 안 왔는지 확인했을 때, 버스가 처음올 때까지 확인한 횟수라고 해보자. 또, $X$는 버스가 처음올 때까지 걸린 시간이라고 한다면, $X_n$와 $X$ 사이에는 아래의 비례식이 성립할 것이다.

\[X_n : X = 1 : \frac{1}{n}\]

또, Geometric Distribution을 따르는 $X_n$의 parameter를 $p$라고 하자; $X_n \sim \text{Geo}(p)$, 그러면 $E[X_n] = 1/p$가 된다. 즉, 평균적으로 $1/p$번 확인한다는 말이다. 이것을 다시 $X$의 관점에서 기술하면, 평균적으로 $1/np$초가 걸린다는 말이다. 즉, $\beta = 1/np$라는 말이고, $\lambda$로 표현하면, $\lambda = np$라는 말이다. 따라서, $X_n \sim \text{Geo}\left( \frac{\lambda}{n} \right)$가 된다.

이에 따라, $X$의 tail probability $P(X > x)$는

\[\begin{aligned} P(X > x) &= P\left(\frac{X_n}{n} > x\right) \\ &= P(X_n > nx) \\ &= \left( 1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{nx} \\ &= e^{-\lambda x} \quad \text{as } n \rightarrow \infty \end{aligned}\]

즉, <Geometric Distribution>에서 극한을 취해 <Exponential Distribution>을 유도할 수 있다!

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Theorem.

Let $X \sim \text{EXP}(\lambda)$, then

• $E[X] = \dfrac{1}{\lambda}$
• $\text{Var}(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$

Proof.

Let $Y \sim \text{EXP}(1)$, then what are the mean and variacen of $Y$?

\[\begin{aligned} E[Y] &= \int^{\infty}_0 y \cdot e^{-y} \; dy = 1 \end{aligned}\]

Variance를 구해보면,

\[\begin{aligned} E[Y^2] = \int^{\infty}_0 y^2 \cdot e^{-y} \; dy = 2 \end{aligned}\]

따라서, $\text{Var}(Y) = E[Y^2] - E[Y]^2 = 2 - 1^2 = 1$.

이제, $X \sim \text{EXP}(\lambda)$를 살펴보자. 우리는 앞의 <Remark 2>를 통해 $X = \dfrac{Y}{\lambda}$임을 알 수 있다. 따라서,

\[E[X] = E\left[\frac{Y}{\lambda}\right] = \frac{1}{\lambda}\] \[\text{Var}(X) = \text{Var}\left( \frac{Y}{\lambda} \right) = \frac{1}{\lambda^2}\]

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요약.

• 어떤 사건의 발생 횟수가 포아송 분포를 따른다면, 사건 사이의 대기 시간은 지수 분포를 따르게 된다. (또는 첫 사건이 발생하는 데까지 걸리는 시간은 지수 분포를 따른다.)
• $\lambda$는 Unit time 동안 Event가 일어날 평균 횟수를 의미한다. 그리고 그 역수인 $\beta$는 한 번의 Event가 발생하는 데 걸리는 평균 시간을 의미한다.
• <Exponential Distribution>은 <Geometric Distribution>의 극한 버전이다. Geo에서 trial을 시행하는 시간 간격 $1/n$이 0에 가까워질 때, Geo가 EXP를 따르게 되는 것이다.

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이어지는 포스트에서는 연속 확률 분포에서 <정규 분포>만큼이나 중요한 분포인 <감마 분포; Gamma Distribution>에 대해 살펴본다! 🤩

👉 Gamma Distribution

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References

• ‘soohee410’님의 포스트