Degree of Freedom in Statistics

통계학을 공부하면서 들었던 의문과 생각들을 에세이로 적어보았습니다 🙏 전체 포스트는 Probability and Statistics에서 확인하실 수 있습니다🎲

이번 포스트는 통계학에서 나오는 “자유도(Degree of Freedom)”와 “왜 통계학에선 DOF를 $n-1$로 설정하는지”에 대한 생각을 다룹니다. 🙌

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통계학에서 자유도(Degree of Freedom)란?

통계학에서 <자유도; Degree of Freedom>는 아래의 의미로 통한다.

Definition. Degree of Freedom

The number of independent variates which make up the statistic.

즉, <통계량(Statistic)>을 정의하기 위한 독립 변량(variate)의 수가 <자유도; DOF>인 셈이다. 또는 “Total number of observations”라고도 한다.

여기에 제약(constraint)을 포함한 정확한 정의는 아래와 같다.

Definition. Degree of Freedom

\[\text{DOF} = (\text{# of independent variates}) - (\text{# of constraints})\]

즉, 어떤 <Statistic>의 자유도는 독립 변량의 수에서 제약의 수를 뺸 값이다! 👏

왜 이런 설명이 나오게 되었는지 좀더 살펴보자.

포항공대의 확통 기말고사는 과목 평균이 $80$점이 되어야 한다는 규칙이 있다.

이번 학기 확통을 듣는 학생은 총 5명이다. 대머리 교수 블혼은 학생 4명의 기말고사 시험지를 채점했다.

어라? 그런데 뒤늦게 과목 평균 $80$점을 맞춰야 한다는 사실이 기억이 난 블혼 교수는 남은 학생 한 명의 점수를 $80$이 되도록 반.드.시 맞춰야 한다!

블혼 교수는 어쩔 수 없이 마지막 학생의 점수를 $400$점을 주고 말았다! 4명이 빵점이었다…

위의 상황에선 $5$명의 학생의 시험점수라는 $5$개의 Variates가 있지만, 과목 평균 $80$점이라는 Constraint가 하나 있기 때문에 오직 $4$의 DOF만 가능했다. 즉, 제약(Constraint)이 <Statistic>의 자유도를 낮추는 것이다!

확률 분포의 자유도

앞에서 자유도는 통계량(Statistic)에 대해서 정의되는 것이라고 말했다. 그런데 왜 확률 분포에 자유도라는 개념이 존재하는 것일까? 이것에 대한 대답은 확률 분포에서 DOF는 단순히 함수 개형을 결정하는 인자에 불과하다. 우리가 아는 DOF는 모두 Positive Integer이다. 그러나 확률 분포의 DOF는 어떤 값이든 넣어도 상관없다! 심지어 $\pi$ 같은 값을 DOF로 넣어도 된다! 아무 의미도 없지만

자유도를 인자로 받는 확률 분포를 살펴보자.

• Chi-square distribution $\chi^2(n)$

\[\chi^2(n) = \text{Gamma}\left(\frac{n}{2}, 2\right)\]

• Student’s t-distribution $t(n)$

\[T := \frac{Z}{\sqrt{V / n}} \quad (Z \sim N(0, 1), V \sim \chi^2(n), Z \perp V)\]

• F-distribution $F(n_1, n_2)$

\[F := \frac{V_1^2 / \sigma_1^2}{V_2^2 / \sigma_2^2} = F(n_1, n_2) \quad (V_1 \sim \chi^2(n_1), V_2 \sim \chi^2(n_2))\]

통계량과 자유도

자유도 개념의 본질인 통계량(Statistic)으로 돌아오자.

자유도를 개념은 통계량(Statistic)에서 존재하는 개념이고, 통계량은 통계적 실험(Statistics Experiment)에서 등장한다. 통계량의 대표적인 예가 sample variance $s^2$이다.

\[s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_i^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2\]

어떤 통계량(Statistic)들은 자유도의 개념을 가지고 있다. 위에서 나온 3개 확률 분포를 따르는 녀석들: “chi-square value”, t-value”, “f-value”은 자유도를 가진다. 각각은 추정(Estimation)과 검정(Test)에서 활용된다.

\[\begin{aligned} \chi^2 &:= \sum_{i=1}^k \frac{(o_i - e_i)^2}{e_i} \\ t &:= \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n - 1}} \\ f &:= \frac{s_1^2 / \sigma_1^2}{s_2^2 / \sigma_2^2} \end{aligned}\]

아니 그래서 자유도(DOF)란 도대체 무엇인가? 이걸 어떻게 해석하고, 어떻게 받아들어야 하는가? 🤔

\[s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_i^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2\]

Sample Variance $S^2$에서 왜 분모에 $n$ 대신 $n-1$이 들어가는지 기억하는가? Sample Variance에 대해 다뤘던 포스트에선 $E[S^2] = \sigma^2$가 되기 위해서라고 수식으로 설명했다. 자유도를 겉들인 직관적인 설명은 “Sample Variance의 자유도가 $n-1$이기 때문”라고 할 수 있다.

통계량(Statistic)을 정의하는 이유는 여러 샘플에서 추출한 값들을 종합해 그것들을 대표하는 하나의 값을 만들기 위해서다. 이때, 통계량(Statistic)에 함께 따라오는 DOF는 그 대표값에 실질적으로 얼만큼의 독립적인 요소가 있는지를 표현한다: “How many numbers in your statistic are actually independent.”

다시 Sample Variance $S^2$의 경우를 보자. $S^2$는 $n$개 Sample로부터 유도되는 값이다. 그러나 Sample Mean $\bar{X}$의 값이 $\bar{x}$로 정해져 있다면, 이것은 통계량 Sample Variance를 구하는 데에 제약(Constraint)가 된다. $n-1$ Sample의 값이 정해진 이후에 마지막 한 Sample의 값이 고정되기 때문이다. 따라서 처음에 살펴본 DOF에 대한 수식에 따라 $S^2$의 자유도는

\[\begin{aligned} \text{DOF} &= (\text{# of independent variates}) - (\text{# of constraints}) \\ &= n - 1 \end{aligned}\]

이렇듯 Sampling Statistic 중에선 통계량을 유도하는데 쓰인 Sample 수 $n$과 통계량이 갖는 실제 independent variability가 다를 수 있다.

상황별로 살펴보면,

• Single Sample
  • $n$ observations & $1$ constraint: the mean → $n - 1$ variability
• Two Samples
  • $n_1 + n_2$ oberservations & $2$ constraints: each mean → $n_1+ n_2 - 2$ variability

여기서 깜짝 질문! z-value는 왜 자유도 개념이 없을까? 🤔

\[z := \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}\]

그 이유는 애초에 z-value가 따르는 분포인 Normal Distribution이 sample size $n$에 의존하지 않기 때문이다. 반면에 z-value에서 population variance $\sigma^2$가 sample variance $s^2$로 바뀐 t-value는 자유도 $n-1$를 갖는데,

\[t := \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n - 1}}\]

이것은 t-value 자체가 자유도 개념이 있는 t-distribution을 따르기 때문이기도 하고, 분모에 사용한 sample variance $s^2$가 sample size $n$에 의존하는 통계량(Statistic)이기 때문이기도 하다.

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맺음말

이 글을 작성하기 전에는 무지성으로 Sample Size $n$에 $-1$한 값을 사용했다. 그러나 이번에 내용을 정리하면서, 자유도(DOF)가 도대체 무슨 의미인지, 그리고 왜 $-1$을 빼줄 수 밖에 없는지를 이해할 수 있었다. 👏

자유도(DOF) 개념이 중요한 영역은 추정(Estimation)과 검정(Test)이다. Sample Statistic의 자유도에 따라 추정에선 <significance>가 검정에선 <p-value>가 달라지기 때문이다.

자유도 개념이 있는 대표적인 추정과 검정의 예시들이다.

• Interval Estimation: Estimate $\mu$ is unknown
• Variance Estimation
• Goodness-of-fit Test

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Reference

• Why are the degrees of freedom in statistics always subtracted by 1?
• Tutorial: Pearson’s Chi-square Test for Independence
• Gerard E. Dallal - Degrees of Freedom