Weibull Distribution (Optional)

“확률과 통계(MATH230)” 수업에서 배운 것과 공부한 것을 정리한 포스트입니다. 전체 포스트는 Probability and Statistics에서 확인하실 수 있습니다 🎲

시리즈: Continuous Probability Distributions

1. Uniform Distribution
2. Normal Distribution
3. Exponential Distribution
4. Gamma Distribution
5. Chi-square Distribution
6. Beta Distribution
7. Log-normal Distribution
8. Weibull Distribution (optional) 👀

Weibull Distribution

Definition.

Let $\alpha > 0$ and $\beta > 0$. We say that a RV $X$ has a <Weibull distribution>, denoted as $X \sim \text{Weibull}(\alpha, \beta)$, if its pdf $f(x)$ is given by

\[f(x; \alpha, \beta) = \alpha \beta \cdot x^{\beta - 1} \cdot e^{-\alpha x^{\beta}} \quad \text{for } x > 0\]

<Weibull Distribution>은 이런 분포가 있다 정도만 소개하고 넘어간다.

Remark.

1. Relationship with Exponential Distribution

if $\beta = 1$, then $\text{Weibull}(\alpha, 1) = \text{Exp}(\alpha)$.

2. cdf of $X$ is

\[F(x) = \int^x_0 f(y) \, dy = \begin{cases} 1 - e^{-\alpha x^{\beta}} & \text{for } x > 0 \\ \quad 0 & \text{else} \end{cases}\]

위의 식을 미분해보면, Weibull의 pdf가 나온다는 걸 쉽게 확인할 수 있다.

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Failure rate & Reliability

Let $T$ be a RV representing the lifetime (or time to failure) of a certain component.

Let $f(t)$ and $F(t)$ be its pdf and cdf respectively.

Definition.

1. reliability function, or survival function

\[R(t) := P(T > t) = 1 - F(t)\]

즉, CDF의 tail probability다. 왜냐하면, $P(T > t)$는 component가 $[0, t]$ 동안 survive할 확률을 의미하기 때문이다!

2. failure rate, or hazard rate

\[Z(t) := \frac{f(t)}{R(t)}\]

Q. Why?

\[\begin{aligned} f(t) &= \frac{d}{dt} F(t) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(t+h) - F(t)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{P(T < t+h) - P(T < t)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{P(t < T \le t+h)}{h} \end{aligned}\]

이때, 위의 식에 $R(t)$를 나눠보자!

\[\begin{aligned} \frac{f(t)}{R(t)} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{P(t < T \le t+h)}{h} \cdot \frac{1}{R(t)} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{P(t < T \le t+h)}{h \cdot R(t)} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{P(t < T \le t+h)}{P(T > t)} \end{aligned}\]

위의 식에서 볼 수 있듯, condition probability $\dfrac{P(t < T \le t+h)}{P(t > t)} = P(t < T \le t+h \mid T > t )$이 된다. 그래서 식을 정리하면,

\[\frac{f(t)}{R(t)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{P(t < T \le t+h \mid T > t)}{h}\]

위의 식은 failure rate $f(t)/R(t)$가 “the rate of the probability of the failure right after time $t$”임을 의미한다! $\blacksquare$

만약 $T$가 Weibull distribution을 따른다면, failure rate $Z(t)$는

\[Z(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\alpha \beta \cdot t^{\beta-1} e^{-\alpha t^{\beta}}}{e^{-\alpha e^{\beta}}} = \alpha \beta \cdot t^{\beta - 1}\]

이때 $\beta$의 값에 따라서 failure rate의 양상을 살펴볼 수도 있는데,

1. if $\beta = 1$, then the failure rate is $\alpha$ (constant).

즉, 시간에 관계없이 failure rate는 항상 같다.

2. if $\beta > 1$, then failure rate is increasing as $t$ flows.

즉, 시간이 지날수록 장비가 약해진다는 것을 의미한다.

3. if $\beta < 1$, then failure rate if decreasing.

즉, 시간이 지날수록 장비가 오히려 더 좋아지는 것을 의미한다.

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이어지는 포스트에서는 Random Variable에 간단한 변환(Transform)을 적용했을 때의 pdf를 어떻게 구하는지 살펴본다. 뒷부분에는 moment을 구하는 함수인 <MGF; Momentim Generating Function>도 등장하기 때문에 중요한 챕터라고 할 수 있다!

👉 Transformations of Random Variable - 1